Численное дифференцирование

Численное дифференцирование
Рассмотрим функцию y=f(x).
По определению производной
Из определения предела получаем
приближенное равенство

Численное дифференцирование
Рассмотрим функцию y=f(x).
По определению производной
Из определения предела получаем
приближенное равенство
Рассмотрим функцию y=f(x), заданную на интервале [a;b].
Разделим интервал [a;b] на n равных частей.
Занумеруем полученные точки xi начиная с нулевого номера
a=xo
Длину каждого интервала будем называть шагом h=(b-a)/n,
а полученные точки {xi } и шаг h разбиением интервала [a;b].

Численное дифференцирование
Рассмотрим функцию y=f(x).
По определению производной
Из определения предела получаем
приближенное равенство
Рассмотрим функцию y=f(x), заданную на интервале [a;b].
Разделим интервал [a;b] на n равных частей.
Занумеруем полученные точки xi начиная с нулевого номера a=xo
Длину каждого интервала будем называть шагом h=(b-a)/n,
а полученные точки {xi } и шаг h разбиением интервала [a;b].
В каждой точке xi вычислим значение функции yi =f(xi ).
Полученную пару (xi ; yi ) будем называть узлами функции.

Однако если возьмем Δx = – h, тогда получим
Или .
(2)

Аналогично взяв Δx = 2h, получим
или
(3)

Аналогично взяв Δx = 2h, получим
или
(3)
Полученные формулы (1) – (3) называются соответственно правой, левой и центральной разностными формулами численного дифференцирования для первой производной.

Рассмотрим функцию y=f(x), заданную на интервале [0;1] и протабулированную с шагом 0,1.
Найдем первую производную этой функции.
Мы вывели для этого три различные формулы (1), (2) и (3).

Аналогично определяются разностные формулы и для старших производных.
Или

Неравномерная сетка
Рассмотрим функцию y=f(x), заданную узлами Mi=(xi ; yi )
Будем говорить, что функция задана неравномерной сеткой,
если hi =xi +1 – xi =/= hj=x j+1 – xj

Неравномерная сетка
Рассмотрим функцию y=f(x), заданную узлами Mi=(xi ; yi )
Будем говорить, что функция задана неравномерной сеткой,
если hi =xi +1 – xi =/= hj=x j+1 – xj
Тогда - правая производная, где hi=x i+1 –xi
левая производная,
где hi-1=xi –x i-1
центральная производная,
где hi + hi-1 =x i+1 – x i-1

Неравномерная сетка
Рассмотрим функцию y=f(x), заданную узлами Mi=(xi ; yi )
Будем говорить, что функция задана неравномерной сеткой,
если hi =xi +1 – xi =/= hj=x j+1 – xj
Тогда - правая производная, где hi-1=x i+1 –xi

Неравномерная сетка
Рассмотрим функцию y=f(x), заданную узлами Mi=(xi ; yi )
Будем говорить, что функция задана неравномерной сеткой,
если hi =xi +1 – xi =/= hj=x j+1 – xj
Тогда - правая производная, где hi-1=x i+1 –xi
левая производная,
где hi-1=xi –x i-1

Неравномерная сетка
Рассмотрим функцию y=f(x), заданную узлами Mi=(xi ; yi )
Будем говорить, что функция задана неравномерной сеткой,
если hi =xi +1 – xi =/= hj=x j+1 – xj
Тогда - правая производная, где hi-1=x i+1 –xi
левая производная,
где hi-1=xi –x i-1
центральная производная,
где hi + hi-1 =x i+1 – x i-1

- правая производная,
где hi-1=x i+1 –xi
левая производная,
где hi-1=xi –x i-1
центральная производная,
где hi + hi-1 =x i+1 – x i-1
Общая формула

Вторая производная задается формулой

Пример.
Рассмотрим функцию, заданную таблицей
Найти Y/(0.2) и Y//(0.2)
- Правая