Числовые ряды. Признаки сходимости

Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида
где - математический значок суммы
аk – общий член числового ряда
k – переменная – «счетчик».

Пример 1.
Записать первые три члена ряда
Решение:

Частичной суммой ряда называется выражение вида:
, где k – конечное натуральное число.

говорят что данный ряд сходится, если существует конечный предел
который называют суммой ряда. Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Основные свойства
сходящихся рядов
Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится, т.е.
Пример 3. Доказать что ряд расходится.
Решение:

Пример 2.
Исследовать ряд на сходимость
Решение:
Ответ: ряд сходится.

Однако в подавляющем большинстве случаев найти сумму ряда не так-то просто, и поэтому на практике для исследования сходимости ряда используют специальные признаки.

Существует несколько признаков сходимости ряда:
Необходимый признак сходимости ряда
Признаки сравнения
Признак Даламбера
Признаки Коши
другие признаки

Ряд называется гармоническим рядом.
но в теории математического анализа
доказано, что гармонический ряд расходится.
Ряд
называется обобщенным
гармоническим рядом.

Данный ряд расходится при α ≤ 1
Данный ряд сходится при α > 1

Признак сравнения
Рассмотрим два положительных числовых ряда и .
Если известно, что ряд – сходится, и выполнено неравенство (n = 1, 2, 3, …), то ряд тоже сходится.

Предельный признак сравнения числовых положительных рядов
Рассмотрим два положительных числовых ряда и .
Если предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу А: , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Пример 3.
Исследовать ряд на сходимость
Решение: Сравним данный ряд со сходящимся рядом .
Используем предельный признак сравнения.
Известно, что ряд – сходится.
Если нам удастся показать, что равен конечному, отличному от нуля числу, то будет доказано, что ряд – тоже сходится.

Пример 4.
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом

Предельный признак сравнения применяется тогда, когда в общем члене ряда:
1) В знаменателе находится многочлен.
2) Многочлены находятся и в числителе и в знаменателе.
3) Один или оба многочлена могут быть под корнем.

Основные же предпосылки для применения признака Даламбера следующие:
В общий член ряда («начинку» ряда) входит какое-нибудь число в степени.
2) В общий член ряда входит факториал.

Признак Даламбера
Рассмотрим положительный числовой ряд
Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему:

а) При D < 1, ряд сходится. В частности, ряд сходится при D = 0.
б) При D > 1, ряд расходится. В частности, ряд расходится при D = ∞.
в) При D = 1, признак не дает ответа.
Нужно использовать другой признак.
Чаще всего единица получается в том
случае, когда признак Даламбера пытаются
применить там, где нужно использовать
предельный признак сравнения.
Признак Даламбера

Пример 5.
Исследовать ряд на сходимость
Решение: Используем признак Даламбера:
таким образом, исследуемый
ряд сходится.

Пример 6.
Исследовать ряд на сходимость.
следовательно исследуемый
ряд расходится.

Интегральный признак Коши
Рассмотрим положительный числовой ряд
Данный ряд сходится или расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Пример 8.
Исследовать ряд на сходимость.
Получено конечное число, значит,
исследуемый ряд сходится вместе с
соответствующим несобственным интегралом.