Dei_774_stvitelnye_chisla

Cодержание
Рациональные числа
2
Иррациональные числа
3
Действительные числа
4

Натуральные
и целые числа
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … –
ряд натуральных чисел N или (Z+)
-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, … –
ряд противоположных натуральным чисел Z–
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … –
ряд целых чисел Z (Z+ и Z– и 0)

Множества чисел

Делимость натуральных чисел
Для двух натуральных чисел a и b, если существует натуральное число q такое, что выполняется равенство a = bq, то говорят, что число a делится на число b.
a – делимое
b – делитель
q – частное
a : b = q

1о Если a ⋮ с и с ⋮ b, то a ⋮ b.
2о Если a ⋮ b и с ⋮ b, то (a + c) ⋮ b.
Пример: 144 ⋮ 12 и 12 ⋮ 3, то 144 ⋮ 3.
Пример: 84 ⋮ 3 и 63 ⋮ 3, то (84 + 63) ⋮ 3.
3о Если a ⋮ b и с не делится на b, то (a + c) не делится на b.
Пример: 48 ⋮ 3 и 52 не делится на 3,
то (48 + 52) не делится на 3.
Свойства делимости

4о Если a ⋮ b и (a + c) ⋮ b, то c ⋮ b.
5о Если a ⋮ b и с ⋮ d, то ac ⋮ bd.
Пример: 48 ⋮ 3 и (48 + 57) ⋮ 3, то 57 ⋮ 3.
Пример: 81 ⋮ 3 и 56 ⋮ 4, то (81∙56) ⋮ (3∙4).
6о Если a ⋮ b и с ∈ N, то ac ⋮ bc, и наоборот.
Пример: 48 ⋮ 12 и 11 ∈ N, то
(48∙11) ⋮ (12∙11), и обратно.
Свойства делимости

7о Если a ⋮ b и с ∈ N, то ac ⋮ b.
8о Если a ⋮ b и с ⋮ b, то для любых n, k ∈ N
следует (an + ck) ⋮ b.
Пример: 48 ⋮ 3 и 13 ∈ N, то (48∙13) ⋮ 3.
Пример: 81 ⋮ 9 и 54 ⋮ 9, то (81∙17 + 54∙28) ⋮ 9.
9о Среди n последовательных натуральных
чисел одно и только одно делится на n.
Свойства делимости
Пример: среди трех последовательных натур. чисел 111, 112, 113 только одно делится на 3. (111 ⋮ 3)

На 2: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2.
Пример: 56738 ⋮ 2 т.к. 8 ⋮ 2.
Признаки делимости
Для того, чтобы натуральное число делилось
На 5: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 5 (0 или 5).
Пример: 56735 ⋮ 5 т.к. 5 ⋮ 5.
На 10: необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0.
Пример: 56730 ⋮ 10.

На 4: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 4 число, образованное двумя последними цифрами.
Пример: 56736 ⋮ 4, т.к. 36 ⋮ 4.
Признаки делимости
Для того, чтобы натуральное число делилось
На 25: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними цифрами.
Пример: 56775 ⋮ 25, т.к. 75 ⋮ 25.
На 8: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 8 число, образованное тремя последними цифрами.
Пример: 56552 ⋮ 8, т.к. 552 ⋮ 8.

На 125: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 125 число, образованное тремя последними цифрами.
Пример: 56375 ⋮ 125, т.к. 375 ⋮ 125.
Признаки делимости
Для того, чтобы натуральное число делилось
На 3: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.
Пример: 56742 ⋮ 3, т.к. (5+6+7+4+2) ⋮ 3.
На 9: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.
Пример: 56545 ⋮ 9, т.к. (5+6+7+4+5) ⋮ 9.

На 11: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр, взятых со знаком «+», стоящих на нечетных местах, и сумма цифр, взятых со знаком «–», стоящих на четных местах, делилась на 11.
Пример: 8637519 ⋮ 11, т.к. (9-1+5-7+3-6+8) ⋮ 11.
Признаки делимости
Для того чтобы натуральное число делилось
На 7 (на 13): необходимо и достаточно, чтобы сумма чисел, образующих грани, взятых со знаком «+» для нечетных граней и со знаком «–» для четных граней, делилась на 7 (на 13).
Пример: 254 390 815 ⋮ 7, т.к. (815-390+254) ⋮ 7.

Деление с остатком
a = bq + r
a – делимое
b – делитель
Теорема 4. Если натуральное число а больше натурального числа b и а не делится на b, то существует, и только одна, пара натуральных чисел q и r, причем r < b, такая что выполняется равенство:
Пример: 37 : 15 = 2 (ост. 7)
а = 37, b = 15, тогда 37 = 15 ∙ 2 + 7;
где q = 2, r = 7.
q – неполное частное
r – остаток
Замечание. Если а ⋮ b, то можно считать, что r = 0.

Простые числа
Если натуральное число имеет только два делителя – само себя и 1, то его называют простым числом.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, … – простые числа.
Теорема 1. Любое, натуральное число а > 1 имеет хотя бы один простой делитель.
Теорема 2. Множество простых чисел бесконечно.
Теорема 3. Расстояние между двумя соседними простыми числами может быть больше любого наперед заданного натурального числа.

Cоставные числа
Если натуральное число имеет более двух делителей, то его называют составным числом.
1 не является ни простым, ни составным числом.
4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, … – составные числа
Основная теорема арифметики. Любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители.
Примеры: 210 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7; 56 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 7.

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96
Делители числа 72:
Наибольший общий делитель (НОД)
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
Делители числа 96:
Среди них есть одинаковые:
Их называют общими делителями чисел 72 и 96, а
наибольшее из них называют наибольшим общим
делителем (НОД) чисел 72 и 96.
Найти НОД чисел: 72 и 96.
НОД (72; 96) = 24
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 24

Наибольший общий делитель (НОД)
Два натуральных числа a и b называют взаимно простыми числами, если у них нет общих делителей, отличных от 1, т.е. НОД(a, b) = 1.
Пример: 35 и 36 взаимно простые числа,
т.к. НОД (35; 36) = 1.

18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, …
Кратные числа 12:
Наименьшее общее кратное (НОК)
12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, …
Кратные числа 18:
Среди них есть одинаковые:
Их называют общими кратными чисел 12 и 18, а
наименьшее из них называют наименьшим общим
кратным (НОК) чисел 12 и 18.
Найти НОК чисел: 12 и 18.
НОК (12; 18) = 36
36, 72, 108, 144, …

Разложение на простые множители
3780 = 22 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 7
2
2
3
3
3
5
7
3780
1890 945
315
105
35
7
1
2
2
2
2
3
3
7
7
7056
3528
1764
882
441
147
49
7
1
7056 = 24 ∙ 32 ∙ 72
НОД (3780; 7056)=
= 22 ∙ 32 ∙ 7 = 252
НОК (3780; 7056)=
= 24 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 72 =
= 105840

Рациональные числа
Любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Рациональные числа – это числа вида ,
где m – целое число, а n – натуральное.
Q - множество рациональных чисел.
Примеры: = 0,17(857142); = 0,(285714);
6 = 6,000… = 6,(0); 7,432 = 7,432000… = 7,432(0).

Рациональные числа
Верно и обратное утверждение:
Любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.

Рациональные числа
Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь :
Пусть х = 1,(23) = 1,23232323…
Умножим х на 100, чтобы запятая переместилась вправо на один период:
100х = 123,232323…
х = 1,232323…
100х – х = 122,000000…
Т.е. 99х = 122, откуда х =
Пример (1 способ):
–

Рациональные числа
Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь :
Пусть 1,(23) = 1,232323… = 1 + 0,23 + 0,0023 + 0,000023 + …
Рассмотрим эту сумму 1 и суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: S = 1 + S1, где S1 = b1 / (1 – q) – формула суммы бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем q = 0,01, и первым членом b1 = 0,23:
S1 = =
S = 1 + =
Пример (2 способ):

Иррациональные числа
Термины «рациональное число», «иррациональное число» происходят от латинского слова ratio – разум (буквальный перевод: «рациональное число – разумное число», «иррациональное число – неразумное число»).
Иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.
0,1234567891011121314…
π ≈ 3,1415926535897932…
е ≈ 2,7182818284590452…
√11 ≈ 3,31662479035539…
Примеры: