Прямая. Ортогональные проекции прямой линии

Лекция 2. Ортогональные проекции прямой линии
Способы задания прямой линии
Прямые общего положения
Прямые частного положения
Метод прямоугольного треугольника
Взаимное положение двух прямых
Свойство проекций прямого плоского угла

Прямая линия – кратчайшее расстояние между двумя точками
Задание прямой линии:
Аналитическим способом
Графическими способами

Графические способы задания прямой линии
B2
B1
А2
А1
1способ. Изображением проекций отрезков прямых линий: A1B1, A2B2
или проекциями прямых: (а1, а2)
а1
а2

X
Z
Y
А2
А1
В2
В1
2 способ. Координатами концов отрезка прямой А(x,y,z), В(x,y,z)

3 способ. Натуральной величиной отрезка прямой IABI и углами наклона (ϕ и Ψ ) к плоскостям проекций П1, П2, П3
X
Z
А2
А1
В2
В1
ϕ
y
IАВI
Угол наклона прямой линии к горизонтальной плоскости проекций ϕ называется фи
Угол наклона прямой линии к фронтальной плоскости проекций
Ψ называется пси

4 способ. Задание прямой ее следами
Следом прямой линии называется точка пересечения прямой с плоскостью проекций
У прямой линии может быть три следа, которые образуются при пересечении с горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостями

А1
А2
Z
Y
X
П1
П3
П2
В1
В2
Z
Y
В1
А2
В2
Построение следов
Точка F - фронтальный след прямой АВ. УF=0
Точка H - горизонтальный след прямой АВ. ZН =0
А1
X
А
B
H1ΞH
F2ΞF
H2
F1
F2 Ξ F
F1
H2
HΞ H1

Правило построения следов прямой
Для построения фронтального следа (F) прямой (а) необходимо продолжить горизонтальную проекцию прямой (а1) до ее пересечения с осью ОХ и из этой точки (Fх) восстановить перпендикуляр до его пересечения с фронтальной проекцией прямой.
а2
а1
F2 ≡ F
Fх
Фронтальная проекция F2 следа прямой совпадает с самим следом

Правило построения следов прямой
Для построения горизонтального следа (H) прямой (а) необходимо продолжить фронтальную проекцию прямой (а2) до ее пересечения с осью ОХ и из этой точки (Hх) восстановить перпендикуляр до его пересечения с горизонтальной проекцией прямой.
а2
а1
H1≡ H
Hх
Горизонтальная проекция H1 следа прямой совпадает с самим следом

Принадлежность точки к
прямой линии
Если точка принадлежит прямой, то ее проекции расположены на одноименных проекциях этой прямой
Прямой АВ принадлежат точки…………

Положение прямой относительно плоскостей проекций:
Параллельно – прямые уровня (горизонталь, фронталь, профильная прямая)
Перпендикулярно – проецирующие прямые
Под углом, отличным от прямого – прямые общего положения

Прямые линии общего положения
а2
в2
с2
а1
в1
с1

Проецирующие прямые
Горизонтально-проецирующая прямая
А
B1
А1
B2
А2
B
Ξ
Z
X
Y
Z
X
Y
А1 Ξ B1
B2
А2
О
О
AB ┴ П1
IА2В2I = I АВ I

Фронтально-проецирующая прямая
C
Y
Z
X
Y
X
Z
D
C1
C1
C2ΞD2
C2
Ξ D2
D1
D1
CD ┴ П2
I C1D1 I = I CD I
О

Прямые уровня
горизонтальная прямая, горизонталь h
X
Z
Y
А2
А1
В2
В1
AВ II П1
ZА=ZB
IА1В1I = IАВI
Угол между АВ и П2 = углу между А1В1 и ОX = Ψ
Ψ

фронтальная прямая, фронталь f
X
Z
Y
C2
C1
D2
D1
CD II П2
УС = YD
IС2D2I = ICDI
Угол между CD и П1 = углу между С2D2 и ОX = ϕ
ϕ

Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения
МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
ДЛИНА ОТРЕЗКА РАВНА
ГИПОТЕНУЗЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА,
ОДИН КАТЕТ КОТОРОГО РАВЕН ПРОЕКЦИИ
ОТРЕЗКА, А ДРУГОЙ – РАЗНОСТИ КООРДИНАТ КОНЦОВ ОТРЕЗКА ОТ ЭТОЙ ЖЕ ПЛОСКОСТИ

АΞА1
А2
Z
Y
X
П1
П3
П2
В1
В2
Z
Y
В1
АΞА1
А2
В2
В
Z = ZB – ZA
В0
ΔZ
ϕ
ϕ
В0
ΔZ
ΔZ
X
ΔZ
А1В1
IABI
IABI

ΔY= YA- YB
Z
Y
X
В1
А2
В2
В0
А1
ΔY
ϕ
А0
Ψ
|АВ|
|АВ|
|ΔY|

Построить проекции отрезка АВ. А(15,10,20)
IАВI= 50 мм; ϕ = 30°; Ψ= 45°; XА
X
A2
А1
А
В
ϕ=30
А1В1
ΔZ
Zв = Z А + ΔZ
Zв
Ψ=45
А2В2
ΔY
YВ=YА+ΔY
Y в
А1В1
В1
В2

Относительное положение прямых
1. Параллельно
2. Перпендикулярно
3. Пересекаться
4. Скрещиваться
Прямые в пространстве могут быть расположены:

Параллельные прямые
Если прямые в пространстве параллельны, то параллельны и их одноименные проекции
X
Z
Y
а2
a1
b2
b1
a II b => a1 II b1
a II b => a2 II b2

Пересекающиеся прямые
X
Z
Y
a2
К1
b2
b1
a1
К2
Если прямые в пространстве пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций лежат на одной линии связи (К1К2)

Скрещивающиеся прямые
Если прямые в пространстве cкрещиваются, то их одноименные проекции могут пересекаться, но точки пересечения одноименных проекций не лежат на одной линии связи
Точки скрещивания прямых называются конкурирующими точками.
X
Z
Y
a1
a2
b1
b2
А1≡(В1)
В2
А2

Свойство проекций прямого плоского угла
Угол АВС=90°
АВ ǁ П1, ВС ǁ П1
АВС=А1В1С1=90°
А*1 ≡А1
В1
С1

На проецирующем луче АА1 возьмем точку А*:
Угол А*ВС = 90°
Проекция точки А* совпадает с А1, значит угол А*1В1С1= 90°
А*
А*1 ≡А1
В1
С1

Свойство проекций прямого
плоского угла
Если одна сторона прямого плоского угла параллельна плоскости проекций, то прямой угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину