Графы. Теория графов

Графом называется простейшая модель связанной системы, т. е. некоторая выделенная совокупность объектов, между каждой парой элементов которой установлено наличие или отсутствие связи.
Если кроме факта связи устанавливается и её направление (ориентация связи), то граф называется ориентированным.
Неориентированный граф легко моделируется ориентированным: факт наличия связи между двумя различными элементами моделируется двумя ориентированными связями – связью «туда» и связью «обратно».

Теория графов – наука, которая занимается изучением свойств графов и различными способами их математического моделирования (различными способами их интерпретации).
Вершины – элементы связанной системы, составляющей граф.
Смежные вершины – две различные вершины, между которыми существует связь.

Один и тот же граф с различным образом помеченными вершинами называется различный представитель графа. Они рассматриваются как разные объекты.
Различные представители графа изоморфны, т.е. между их вершинами существует взаимнооднозначное соответствие, сохраняющее смежность вершин.

Вершины можно моделировать точками на плоскости. В этом случае связь между любыми двумя вершинами можно моделировать направленным или ненаправленным отрезком кривой.
Граф моделируется двумя множествами – множеством вершин и множеством отрезков, которые для удобства различают в названиях.
Направленные отрезки называются дугами, а ненаправленные ребрами.
Вершина, ограничивающая ребро называется инцидентной этому ребру (дуге), и наоборот.

Моделируем элементы, составляющую систему, как элементы некоторого множества вершин V, а ненаправленные связи (ребра) между некоторыми парами вершин, как двухэлементные подмножества множества вершин.
В этом случае две вершины называются смежными, если они принадлежат одному и тому же двухэлементному подмножеству. Вершина и ребро (двухэлементное подмножество) называются инцидентными друг другу, если вершина принадлежит этому ребру.
Аналогично с ненаправленными моделируются направленные связи связанной системы, как упорядоченные двухэлементные подмножества, точнее как упорядоченные пары.

Матрица смежности графа
Любая упорядоченная пара-дуга ( , ) i j v v заданного n-элементного множества вершин 1 2 { , ,..., } V v v v = n , вернее её наличие или отсутствие в описании связанной системы, однозначно определяется значением 1 или 0 соответственно на (i,j)-ом месте квадратной матрицы порядка n.

Графом называется фигура, состоящая из точек, называемых вершинами, и отрезков, соединяющих некоторые из этих вершин. Соединяющие отрезки могут быть направленными (дугами - случай ориентированного графа), ненаправленными (ребрами - случай неориентированного графа), прямолинейными или криволинейными.
Отрезок, соединяющий вершину с самой собой, называется петлей.

Матричное 1 – ориентированным графом называется множество (класс) квадратных (0,1)-матриц, перестановочно подобных между собой. (Две квадратные матрицы называются перестановочно подобными (P-подобными), если от одной к другой можно перейти с помощью перестановки рядов, т.е. с помощью перестановки строк и такой же перестановки столбцов.)
Матрицы, в этом определении, называются матрицами смежности графа.

Матричное 2 – обыкновенным неориентированным графом называется множество (класс) (0,1)-матриц инцидентности B, перестановочно эквивалентных между собой.
Матрицы B характеризуются тем, что у них все столбцы различные и у каждого столбца только два элемента равны 1, а все остальные элементы столбца равны 0.
Две матрицы инциденций называются перестановочно эквивалентными, если одна может быть получена из другой с помощью некоторой перестановки строк и некоторой перестановки столбцов.

Матричное 3 – обыкновенным ориентированным графом называется множество (класс) ориентированных матриц инцидентности B, перестановочно эквивалентных между собой. Ориентированные матрицы инцидентности B характеризуются тем, что у них все столбцы различные и у каждого столбца только два элемента отличны от нуля, один из которых равен единице, а другой – минус единице.

Замечание 1. Матричные определения 1, 2 и 3 отличаются от предыдущих тем, что определяют граф как класс объектов (матриц). Это объясняется тем, что при матричном моделировании связей приходится указывать привязку связываемых элементов двух экземпляров одного множества и двух разных множеств к месту в матрице.
Замечание 2. Матричное определение 1 позволяет включить в определение графа как псевдографы (графы с петлями), так и неориентированные графы.
Замечание 3. Матричные определения 2 и 3 не позволяют обобщения графа на псевдографы, однако если в этом определении отказаться от требования различия столбцов мы получим обобщение определений обыкновенных графов на мультиграфы (графы с кратными связями).
Замечание 4. Отношение перестановочного подобия и отношение перестановочной эквивалентности являются частными случаями бинарного отношения эквивалентности и позволяют разбить соответствующие множества на непересекающиеся подмножества эквивалентных между собой элементов (матриц).