Декартовы координаты в пространстве. Преобразование в пространстве

Возьмем три взаимно перпендикулярные прямые х, у, z, пересекающиеся в одной точке О. Проведем через каждую пару этих прямых плоскость.
Плоскость, проходящая через прямые x и y, называется плоскостью ху. Две другие плоскости называются соответственно xz и yz. Прямые х, у, z называются координатными осями (или осями координат), точка их пересечения О — началом координат, а плоскости ху, yz и xz — координатными плоскостями. Точка О разбивает каждую из осей координат на две полупрямые — полуоси, которые мы условимся называть положительной и отрицательной.

Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(xa, ya, za) и B(xb, yb, zb) в пространстве:

Преобразование симметрии в пространстве

Движение в пространстве. Движение в пространстве определяется так же, как и на плоскости. А именно: движением называется преобразование, при котором сохраняются расстояния между точками.
Дословно так же, как и для движения на плоскости, доказывается, что при движении в пространстве прямые переходят в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки и сохраняются углы между полупрямыми.
Новым свойством движения в пространстве является то, что движение переводит плоскости в плоскости.

Параллельный перенос в пространстве. Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (х; у; z) фигуры переходит в точку (х + а; y + b; z + c), где числа а, b, с одни и те же для всех точек (х; у; z).
Параллельный перенос в пространстве задается формулами
х' = х + а, у' = у + b, z' = z + c,
выражающими координаты х', у', z' точки, в которую переходит точка (х; у; z) при параллельном переносе. Так же как и на плоскости, доказываются следующие свойства параллельного переноса:
1. Параллельный перенос есть движение.
2. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.
3. При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя).
4. Каковы бы ни были точки А и А', существует единственный параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А'.
Новым для параллельного переноса в пространстве является следующее свойство:
5. При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.