Теорема Муавра-Лапласа

Пьер-Симо́н Лаплас (1749- 1827) - выдающийся французский математик, физик и астроном; один из создателей теории вероятностей. Был членом Французского Географического общества.
Абрахам де Муавр (1667- 1754) — английский математик французского происхождения. Член Лондонского королевского общества (1697), Парижской (1754) и Берлинской (1735) академий наук.

Теорема Муавра - Лапласа - простейшая из предельных теорем теории вероятностей.
В общем виде теорема доказана Лапласом в книге «Аналитическая теория вероятностей» (1812). Один частный случай теоремы был известен Муавру (1730), в связи с чем она и называется теоремой Муавра-Лапласа.
Утверждает, что число успехов при многократном повторении одного и того же случайного эксперимента с двумя возможными исходами приблизительно имеет нормальное распределение.

Рассмотрим последовательность из n независимых опытов, в каждом из которых событие A может произойти с вероятностью p, либо не произойти - с вероятностью q = 1 − p. Обозначим через Pn(m) вероятность того, что событие A произойдет ровно m раз из n возможных. Если n будет достаточно большим, то найти значение Pn(m) по теореме Бернулли становится нереально из-за огромного объема вычислений. Локальная теорема Муавра -Лапласа позволяет найти приближенное значение вероятности.

Локальная теорема Муавра - Лапласа. Если в схеме Бернулли число n велико, а число p отлично от 0 и 1, тогда:
Функция φ(x) называется функцией Гаусса. Теорема Муавра-Лапласа утверждает, что асимптотическим выражением для биномиального распределения является нормальная функция.

Для расчетов составлена таблица значений функции φ (x), необходимо учитывать свойства:
1. φ(−x) = φ(x) - четная, в таблице приведены значения функции лишь для положительных аргументов;
2. Функция φ(x) - монотонно убывающая. Предел φ(x) при x→∞ равен нулю.
3. Если х > 5, то можно считать, что φ(х) ≈ 0. Функция φ(х) уже при х = 5 очень мала: φ(5)=0,0000015. Поэтому таблица значений не продолжена для х > 5.

Пример. Вероятность покупки при посещении клиентом магазина составляет р = 0,75. Найти вероятность, что при 100 посещениях клиент совершит покупку ровно 80 раз.
Решение. n = 100, m = 80, p = 0,75, q = 0,25.
Находим ,
определяем ϕ(1,16) = 0,2036, тогда:
Р100(80) =

Задание. Вероятность выпуска бракованного изделия равна 0,02. Какова вероятность того, что среди 2500 выпущенных изделий окажется 50 бракованных
Варианты ответов:
0,1045; 2) 0,86; 3) 0,0570;
4) 0,0172; 5) 0,3989.
Ответ: пункт 5

Фрагмент таблицы функции

Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность, что в n независимых испытаниях (n>>1) собы­тие А состоится число раз, заключенное в границах от а до b включительно:

где функция Ф (х) определяется равенством
Формула называется интегральной формулой Муавра— Лапласа.
Получаемые по интегральной и локальной формулам Муа­вра — Лапласа вероятности достаточно точны, если произведение nр составляет несколько сотен!!!

Свойства функции Ф(х)
Функция Ф(х) нечетная, Ф (- х) = - Ф(х).
Функция Ф(х) монотонно возрастающая.
Предел функции Ф(х) при x→∞ равен 0,5.
Для всех значений х > 5 считают, что Ф (х) ≈ 0,5. Уже Ф (5) = 0,4999992, при увеличении х функция Ф (х) возрастает, но не может пре­восходить 0,5. Поэтому в таблицах функция дана для значений х < 5.

Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности
Вероятность, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р, абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события А от его постоянной вероятности не превысит положительного числа ε, приближенно равна:

Пример. Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,04.
Решение. По условию задачи: n = 625; p = 0,8; ε=0,04. Отсюда q =1– p = 0,2. Требуется найти вероятность:

Для решения задачи воспользуемся формулой, определяющей оценку отклонения относительной частоты от постоянной вероятности:
Ф(х) – интегральная функция Лапласа. Найдем аргумент функции Лапласа:
По табл. функции Лапласа: Ф(2,5) = 0,4938, т.е. 2Ф(х) = 0,9876.

Итак, искомая вероятность:

Пример. Страховая компания заключила 40000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому из них в течение года составляет 2%. Найти вероятность, что таких случаев будет не более 870.
Решение. По условию задачи n = 40000, p = 0,02. Находим np = 800, . Для вычисления Р (m ≤ 870) воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа:
Р(0 < m ≤ 870) = Ф0(х2) –Ф0(х1), где

Находим по таблице значений функции Лапласа:
Р(0 < m ≤ 870) = Ф0(х2) – Ф0(х1) = Ф0(2,5) – – Ф0(–28,57) = 0,4938 + 0,5 = 0,9938.
Ответ: P = 0,9938

Пример. Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число ε, чтобы с вероятностью 0,99 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не превышала ε.
Решение. По условию p = 0,8, n = 400. Используем следствие из интегральной т. Муавра-Лапласа:

Следовательно, . По таблице для
функции Лапласа определяем
Отсюда, ε = 0,0516.

Фрагмент таблицы значений функции Лапласа.