Деление многочленов

Любой многочлен P(x), содержащий только переменное х и его натуральные степени, можно записать в стандартном виде
P(x) = a0xn +a1xn – 1 + an – 1 x + an
где a0,a1……an – 1 ,an – некоторые действительные числа.
Если а0 ≠ 0, то многочлен P(x) называют многочленом n – ой степени (или n – степени), член a0xn старшим членом, an – свободным членом.
P(x) = а0, где а0 ≠ 0, называют многочленом нулевой степени. Число 0 называют нулевым многочленом.

В результате сложения, вычитания и умножения многочленов получаются многочлены. Особое место в теории многочленов занимает деление многочленов уголком.

Разделить уголком многочлен P(x) = 10x2 − 7х− 12 на Q(x) = 5х +4
10x2 − 7х− 12
10x2 +8х
5х +4
−
2х − 3
−15х − 12
−
−15х − 12
0
ДЕЛИМОЕ
ПЕРВЫЙ ОСТАТОК
ДЕЛИТЕЛЬ
ЧАСТНОЕ
ОСТАТОК
Остаток равен нулю, поэтому многочлен P(x) делиться на многочлен Q(x)

Пример 1 : Разделить многочлен P(x) = 3x4 + 2x2 – 1 на многочлен Q(x) = x2 + x.
x2 + x
3x4 + 2x2 – 1
−
3x4 + 3x3
– 3x3 + 2х2 – 1
3x2 – 3х + 5
−
– 3x3 – 3x2
5x2 – 1
5x2 + 5x
−
– 5x – 1
Степень остатка – 5x – 1 меньше степени делителя x2 + x, деление закончено.
Ответ: 3x2 – 3х + 5 − частное, – 5x – 1 −остаток.

P(x) = M(x)⋅ Q(x) + R(x)
где M(x) – частное, степень которого m = n – k , R(x) – остаток , степень которого l < k.
Формула деления многочленов с остатком
Если многочлен P(x) степени n > 1 делят на многочлен Q(x) степени k ≥ 1,k ≤ n то справедливо равенство:

−
Чтобы разделить многочлен P(x) на многочлен Q(x) нужно:
Расположить делимое и делитель по убывающим степеням х;
2. Разделить старший член делимого на старший член делителя; полученный одночлен сделать первым членом частного;
3. Первый член частного умножить на делитель; результат вычесть из делимого; полученная разность является первым остатком;
4. Чтобы получить следующий член частного, нужно с первым остатком поступить так, как поступали с делимым и делителем в пунктах 2 и 3.

Пример 2 : Разделить многочлен 3х + 4x4 + 1 – 15х3 + 2х5 – 9x2 на многочлен 2x2 − х3
2х5 + 4x4 – 15х3 – 9x2 + 3х +1
2х5 – 4x4
− х3 + 2x2
−
−
−
– 2х2 – 8х – 1
– 8x4 – 15х3 – 9x2 + 3х +1
8x4 – 16х3 – 9x2 + 3х +1
– х3 – 9x2 + 3х +1
– х3 – 2x2
– 7x2 + 3х +1
Ответ: – 2х2 – 8х – 1 − частное, – 7x2 + 3х + 1 −остаток.

Свойства делимости многочленов
1. Если многочлен P(x) делится на многочлен Q(x), а многочлен Q(x) делится на многочлен M(x) , то многочлен P(x) делиться на многочлен M(x) .
2. Если многочлены P(x) и Q(x) делятся на многочлен M(x), то многочлены P(x) + Q(x) и P(x) − Q(x)
делятся на многочлен M(x),
а многочлен P(x) ⋅ Q(x) делиться на многочлен M 2(x) .

Найдите частное:
(x2 +3х − 4):(х + 4)
(x2 − 7х + 10):(х − 5)
(6x3 +7х2 − 6х + 1):(3х − 1)
(4x3 − 5х2 + 6х + 9):(4х + 3)
(15x3 − х2 + 8х − 4):(3х2 + х + 2)
(9х4 −9x3 − х2 + 3х − 2):(3х2 − 2х + 1)