Диаграммы Ламерея. Качественный анализ дискретных ДС

Динамическая система
(1)
Уравнение
может быть использовано для описания динамики популяции с неперекрывающимися поколениями.
Функция F(N) обладает следующими свойствами:
F(N) > 0 ∀ допустимого N > 0;
F(0) = 0;
F(N) возрастает в окрестности точки N = 0;
F(N) → k = const ≥ 0 при N → +∞.
Определение 1. Решением уравнения (1) называется числовая последовательность {Nt}t=0,1,2,…., члены которой удовлетворяют уравнению (1).

Основные определения
Определение 2. Решение уравнения (1) вида Nt = N* = const ∀ t = 0,1,2, … называется стационарным, а точка N* − положением равновесия (или точкой покоя, стационарной точкой).
Все положения равновесия являются корнями уравнения:
F(N) = N (2)
Определение 3. Стационарное решение Nt = N* ∀ t = 0,1,2, … называется устойчивым, если ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, такое, что |Nt − N*| < ε ∀t ≥ 0, если |N0 − N*| < δ.
Определение 4. Если когда |N0 − N*| < δ, то решение Nt = N* ∀ t = 0,1,2, … называется асимптотически устойчивым.

Диаграмма Ламерея
Положения равновесия уравнения Nt+1 = F(Nt)
N
y
y = F(N)
y = N
N1*
N2*
N3*
0

N0
Диаграмма Ламерея (лестница Ламерея)
Решение уравнения Nt+1 = F(Nt)
y = N
y = F(N)
N
y
F(N0)
N2
N1
0
F(N1)
F(N2)
N3

Траектория
N
t
0
1
2
3
4
N0
N2
N3
N4
N1

N0
Диаграмма Ламерея (лестница Ламерея)
Решение уравнения Nt+1 = F(Nt)
y = N
y = F(N)
N
y
F(N1)
N2
N1
0
F(N0)
F(N2)
N3
N0
N1
N2
N3
F(N3)
N4

Траектория

N0
Диаграмма Ламерея
Анализ на устойчивость положений равновесия
y = N
y = F(N)
N
y
N2
N1
0
N3
N0
N1
N2
N3
N4