Объемы тел вращения

Что называется цилиндром, осью цилиндра, высотой цилиндра, радиусом цилиндра?
O
r
O1
r
T1
T
Цилиндр — тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами O(r), O1(r)
Ось цилиндра — прямая OO1
Высота цилиндра — длина образующей
Радиус цилиндра — радиус основания

Теорема
Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту
V = πr2h
Теорема
Объём цилиндра равен произведению площади основания
на высоту

КОНУС
Высота
Образующая
Радиус
Вершина
Ось
Основание
Конус – это тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки не лежащей в плоскости этого круга – вершины конуса, и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Конус – тело вращения…
Конус можно получить путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

ОБЪЕМ КОНУСА
Теорема:
Объем конуса равен одной
трети произведения площади основания на высоту.

Объём усеченного конуса
Следствие:
Объем усеченного конуса, высота
которого равна h, а площадь оснований S и S1 , вычисляется
по формуле

Объем усеченного конуса, основания которого – круги радиусов R и r, а высота равна h, выражается формулой
ОБЪЕМ УСЕЧЕННОГО КОНУСА

Решение задач

Задача 1.
Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилиндра с серединой радиуса нижнего основания, равен 12см. и образует с осью угол в 30 градусов.
Найти: площадь осевого сечения, объём цилиндра и площадь полной поверхности.

Решение:
Рассмотрим треугольник ОКН- прямоугольный с острым углом 30 градусов. Как известно, если в прям. треугольнике один острый угол равен 30 градусов, то катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы, а другой катет в корень из 3 больше этого катета.
Для нашего случая КН = 6; ОН = 6 корней из 3.
КН - это половина радиуса основания. То есть радиус равен 12.
Рассмотрим прямоугольник ABCD, он является осевым сечением цилиндра и в нем одна сторона - диаметр основания и равен 24, а вторая равна оси. Найдем его площадь:

Решение:
Теперь найдем объём цилиндра и площадь полной поверхности:

Задача 2.
Осевое сечение цилиндра прямоугольник со сторонами 8 и 12 дм.
Найти объём цилиндра и площадь боковой поверхности, если его высота равна большей стороне осевого сечения.

Решение:
Раз осевое сечение прямоугольник АА1В1В, значит цилиндр прямой круговой. Высота ОО1= 12, а диаметр основания АВ=8. Радиус - половина диаметра, поэтому равен АО=4.
Найдем площадь основания:
S = pr2 = 16π
Найдем объем:
V=1/3SH=1/3*16 π *12=64 π
Найдем площадь боковой поверхности:
Sбок=Р*Н, где Р - периметр основания: Р = 2 π r
Sбок=2 π r*Н=96 π

Задача 3.

Решение:

Задача 4.

Решение:

Решение:

Образующая конуса равна 60 см, высота 30 см.
Найдите Vконуса.
Задача 5.

Решение:
Из ΔАOР (∠O = 90°): Так как РО = 1/2АР, то
Ответ: V = 27000π см3.

Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30°.
Найдите объем конуса.
Задача 6.

Решение:
Из ΔАSO (∠O = 90°):
Ответ: V= 216π см3

Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов, радиус основания равен 3 дм. Найти объём конуса и площадь боковой поверхности.
Задача 7.

Решение:
Из прямоугольного треугольника АВО определим АВ и ВО, используя тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике:
Определим площадь основания:
Определим объем конуса и площадь боковой поверхности:
S=πr2=9π

Высота усеченного конуса равна 2 корня из 3 см. Диагональ осевого сечения конуса образует с плоскостью основания угол 30 градусов и перпендикулярна образующей.
Найти: площадь осевого сечения, объём усеченного конуса и площадь полной поверхности.
Задача 8.

Решение:
Рассмотрим треугольник ACD: в нем один из острых углов равен 30 градусов, т.е. катет противолежащий этому углу в два раза меньше гипотенузы.
Теперь рассмотрим треугольник АНD - подобный треугольнику ACD: катет противолежащий углу в 30 градусов в корень из 3 раз меньше другого катета. В данном случает второй катет равен 2 корня из 3, значит катет, противолежащий углу в 30 градусов, равен 2, а гипотенуза в два раза больше этого катета: AD = 2DH = 4. Зная AD в треугольнике ACD, находим: DC = 2AD = 8. АВ = DC - 2DH = 8 - 4 = 4. Зная эти значения определим искомое:

Задача 9. (№702)

Решение:

Задача 10. (№708)

Решение:
Дано: усеченный конус, r = О1С = 3 м, ОВ = R = 6 м, СB = 5 м (рис. 1).
Найти: Vус.п.
Проведем СС1 ⊥ АВ, O1С = OС1 = 3 м, C1B = 6 - 3 = 3 (м). Из ΔСВС1 (∠C1 = 90°) по теореме Пифагора
отсюда

Задача 11.
Радиус оснований усеченного конуса 6 см и 10 см. Образующая наклонена к плоскости большего основания под углом 60°.
Найдите: Vусеченного конуса.

Решение:
Дано: α = 60°, R = 10 см, r = 6 см.
Найти: Vус.к..
Ответ:

Образующая конуса 8 см, а угол при вершине осевого сечения 60°.
Найдите объем конуса.
Задача 12.

Решение:
Ответ:

Найдите объем усеченного конуса, если его осевое сечение трапеция с основаниями 8 см, 6 см и высотой 3 см .
Задача 13.

Решение:
Ответ: V = 37π см3.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:
Написать опорный конспект.
Выучить все формулировки теорем и формулы!
Разобрать решенные задачи
Подготовиться у контрольной работе по теме «Объемы поверхностей геометрических тел»