Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения.
Задача о первообразной.
Найти функцию такую, что
Решение.

Дифференциальные уравнения.
Задача о движении.
Материальная точка движется вдоль оси ОХ
со скоростью V(t). Найти закон движения x(t).
Решение.
Скорость движения -
Поэтому
Тогда
где - первообразная.
Пусть

Дифференциальные уравнения.
Задача о касательной.
Найти кривую , проходящую через точку
такую, что в каждой точке кривой
угловой коэффициент касательной равен
Решение.
Угловой коэффициент касательной
в точке равен
Следовательно
0
y
x

Дифференциальные уравнения.
Определение 1.
Дифференциальным уравнением порядка n
называется уравнение вида
Определение 2.
Порядком дифференциального уравнения
называется порядок старшей производной,
входящей в уравнение.
Определение 4.
Решением дифференциального уравнения (1) называется функция , которая удовлетворяет уравнению, то есть
при

Дифференциальные уравнения.
Геометрический смысл уравнения (2)
Функция определена в области .
Определение 5.
Пусть в каждой точке проведен
отрезок с угловым коэффициентом
Говорят, что уравнение (2) задает
поле направлений в области .
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Интегральные кривые в каждой точке
имеют касательную, совпадающую
с полем направлений в этой точке.
0
х
y

Дифференциальные уравнения.
Задача Коши.
Найти решение уравнения
удовлетворяющее начальному условию:
Другая запись:
Геометрический смысл задачи Коши.
Найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку
0
x
y

Дифференциальные уравнения.
0
x
y
Теорема ( ! ).
Пусть:
1.
2.
Тогда: 1. Существует единственное решение
данного дифференциального уравнения,
удовлетворяющее начальному условию
2. - определена в окрестности
3. - непрерывные в окрестности.

Дифференциальные уравнения.
Пример 2.
Найти решение уравнения
удовлетворяющее заданному начальному условию:
(Решить две задачи Коши).
Решение.
Данное уравнение является линейным уравнением первого порядка.
Оно интегрируется в квадратурах:
Решение задачи Коши имеет вид:

Дифференциальные уравнения.
Определение.
Общим решением дифференциального уравнения
в области называется функция , зависящая от х
и произвольной постоянной С, непрерывная, имеющая непрерывные частные производные, и удовлетворяющая условиям:
1) при любых значениях С , таких что точка ,
функция является решением
дифференциального уравнения;
2) при любых найдется такое значение ,
что решение удовлетворяет начальному условию
Решение, полученное из общего решения при конкретном значении С, называется частным решением.

Дифференциальные уравнения.
Пример.
Частные
решения Д.У.

Дифференциальные уравнения.
Задача Коши для уравнения
Найти решение уравнения (3), удовлетворяющее
начальным условиям:
Геометрический смысл задачи Коши.
Найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку с заданными угловым коэффициентом касательной:
x
y
0

Дифференциальные уравнения.
Теорема ( ! ).
Пусть;
1.
2.
Тогда:
1. Существует единственное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям;
2. - определена в окрестности
3.