Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

www.themegallery.com
Бер Л.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. №189 от 17.06.10
Однородные ДУ
Определение. Функция M (x, y) называется однородной измерения (степени) m, если при любом t справедливо равенство
M (t x, t y) = t m · M (x, y).
Определение. Уравнение I-го порядка y' = f (x, y) называется однородным относительно x и y, если функция f (x, y) есть однородная функция нулевого измерения.
Определение. ДУ
М (x, y) d x + N (x, y) d y = 0
является однородным относительно x и y, если функции M (x, y) и N (x, y) - однородные функции одного и того же измерения.

www.themegallery.com
Бер Л.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. №189 от 17.06.10
Таблица
3. Однородные ДУ.
М (x, y) d x + N (x, y) d y = 0 ⇒ Замена : y = t x, y' = t' x + t
или y' = f (y / x ) ⇒ Замена : t = y / x
4. ДУ приводящееся к однородным.
, если
Замена :
5. ДУ приводящееся к ДУ с разделяющимися переменными.
, если
Замена : z = a1 x + b1 y z ' = a1 + b1 y '

www.themegallery.com
Бер Л.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. №189 от 17.06.10
Линейные ДУ первого порядка
Определение. ДУ первого порядка, линейное относительно неизвестной функции и ее производной называется линейным ДУ первого порядка.
В общем случае м.б. записано в виде:
y' + p (x) y = f( x).
Если f (x) = 0, то линейное ДУ называется однородным линейным ДУ.
Если f (x) ≠ 0, то линейное ДУ называется неоднородным линейным ДУ.
6. Линейные ДУ.
Метод Лагранжа (метод вариации постоянной)
а) Ищем решение ЛОДУ.
б) Полагаем С = С(x).
Метод Бернулли (подстановки)
Замена : Решаем систему

www.themegallery.com
Бер Л.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. №189 от 17.06.10
ДУ с разделяющимися переменными
7. Уравнения Бернулли.
1 способ ⇒ Замена : t = y1-n , t' = (1 - n) y-n y'
y' + p (x) y = f( x) yn
2 способ ⇒ Метод Бернулли
Замена : Решаем систему
8. ДУ в полных дифференциалах
М (x, y) d x + N (x, y) d y = 0

www.themegallery.com
Бер Л.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. №189 от 17.06.10
ДУ в полных дифференциалах
Теорема. (о существовании и единственности решения ДУ в полных дифференциалах) Пусть функции М (x, y) и N (x, y) определены и непрерывны в области D плоскости Oxy и имеют в ней непрерывные частные производные ∂ M / ∂ y и ∂ N / ∂ x . Для того, чтобы выражение
М (x, y) d x + N (x, y) d y
представляло собой полный дифференциал некоторой функции u (x, y) необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D выполнялось условие
При этом функция u (x, y) может быть найдена по одной из следующих формул, (x0, y0) – любая точка области D
или

www.themegallery.com
Бер Л.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. №189 от 17.06.10

www.themegallery.com
Бер Л.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. №189 от 17.06.10

www.themegallery.com
Бер Л.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. №189 от 17.06.10
Частные случаи ДУ F (x, y, y')=0
1. ДУ вида
где pi = pi (x, y), n ∈ N называется ДУ первого порядка степени n.
Если удается разрешить относительно y ' (полагая y' = t), то
y' = f1(x, y, C), y' = f2(x, y, C),…, y' = fk(x, y, C) (k ≤ n).
Для каждого из уравнений найдем общий интеграл:
Ф1 (x, y, C) = 0, Ф2 (x, y, C) = 0, …, Фk (x, y, C) = 0
Общий интеграл ДУ записывается в виде:
Ф1 (x, y, C) · Ф2 (x, y, C) · … · Фk (x, y, C) = 0
2. ДУ не содержит явно x и y
F (y') = 0.
Общий интеграл ДУ записывается в виде:

www.themegallery.com
Бер Л.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. №189 от 17.06.10
Частные случаи ДУ F (x, y, y')=0
3. ДУ не содержит явно искомой функции y
F (x, y') = 0.
Замена :
Общее решение в параметрическом виде:
4. ДУ не содержит x
F (y, y') = 0.
Замена :
Общее решение в параметрическом виде:

www.themegallery.com
Бер Л.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. №189 от 17.06.10