Основные сведения о матрицах. Операции над матрицами

17.08.2020

17.08.2020
Основные сведения о матрицах
Операции над матрицами
Свойства алгебраических операций над матрицами
План

Применение матричного исчисления
Матричное исчисление положено в основу математического аппарата квантовой и статической механики, квантовой физики, химии, радиоэлектроники. Одно из первых направлений в квантовой механике, заложенное Гейзенбергом, даже носило название
МАТРИЧНОЙ МЕХАНИКИ.
17.08.2020

Матричное исчисление значительно упрощает описание электромагнитных процессов в цепях
Матричное исчисление облегчает решение системы линейных уравнений
Матричное исчисление широко применяется при анализе электронных схем
17.08.2020

Матричное исчисление играет большую роль в решении ряда прикладных задач. На нем базируется теория колебаний в электрических, акустических и механических системах, где фундаментальное значение имеют характеристические уравнения, собственные значения и собственные векторы.
17.08.2020

К задачам линейной алгебры сводятся многочисленные алгоритмы обработки экспериментальных данных, минимизации линейных форм, различные задачи теории прочности, упругости и пластичности.
17.08.2020

17.08.2020
1. Основные сведения о матрицах.
Определение: Система действительных чисел (или элементов матрицы), расположенных в прямоугольную таблицу из строк и столбцов, называется матрицей

17.08.2020
Матрицу можно записывать коротко:
в виде
или в виде ,
где - элемент данной матрицы

17.08.2020
Элементы матрицы образуют столбцы и строки.
Первый индекс i указывает номер строки,
а второй j – номер столбца, на пересечении
которых и стоит элемент .

17.08.2020
Например, элемент матрицы
находится на пересечении второй строки и третьего столбца
и равен
Элемент

17.08.2020
Набор
называют строкой матрицы .
Набор называют
столбцом.

17.08.2020
Если хотят указать размер матрицы,
то пишут ,
это означает, что в матрице строк
и столбцов.

17.08.2020
Например, матрица
имеет порядок , т.е. .
Элемент данной матрицы равен (?)

17.08.2020
МОЛОДЦЫ!
Верно,

17.08.2020
Типы матриц
1. Если матрица содержит только одну строку – это вектор-строка (или строчная матрица).
Например, матрица
имеет порядок
2. Если один столбец – это вектор-столбец (или столбцевая матрица).
Матрица имеет порядок

17.08.2020
3. Если , то матрица называется квадратной, а число – ее порядком.
Элементы квадратной матрицы называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.

17.08.2020
4. Матрица, у которой все элементы, кроме диагональных, равны 0, называется диагональной и записывается в виде
Например,

17.08.2020
5. Диагональная матрица вида называется
единичной
и обозначается
или

17.08.2020
6. Нулевая матрица (0) размера есть матрица этого размера, все элементы которой равны нулю:
7. Если нули будут под главной диагональю или над главной диагональю, то матрица называется треугольной:

17.08.2020
Определение. Две матрицы равны, если равны элементы, стоящие на одинаковых местах (при этом число строк и столбцов должно быть одинаковым). То есть размеры и элементы двух равных матриц совпадают.

17.08.2020
2. Операции над матрицами
Операции над матрицами определяются с помощью операций над их элементами.
Сложение матриц. Суммой двух матриц A и B с одинаковым количеством строк и столбцов называется матрица C, элементы которой определяются равенством,

17.08.2020
Например,

Замечание
Строго говоря, операции вычитания матриц одного порядка А и В как таковой не существует.
Разность двух матриц по сути есть сумма матрицы А и матрицы В, предварительно умноженной на минус единицу:
17.08.2020

17.08.2020
2. Произведением матрицы A на число λ называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число λ:
если , то, по определению для любого

17.08.2020
Например, если
то

17.08.2020
3. Произведением матрицы A, имеющей строк и столбцов, на матрицу , имеющую строк и столбцов, называется матрица , имеющая строк и столбцов, у которой элемент равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A и j-ого столбца матрицы B:

17.08.2020
ЗАМЕЧАНИЕ:
если число столбцов первой матрицы и число строк второй матрицы не совпадают, то произведение не определено, т. е. не существует.
2) размерность полученной матрицы быстро
определяется с использованием записи:

Произведение матриц AB состоит из всех возможных комбинаций скалярных произведений строк матрицы A и столбцов матрицы B.
17.08.2020

17.08.2020
В общем случае, произведение матриц не является коммутативной операцией. К примеру, элемент
произведения матриц вычисляется следующим образом

17.08.2020
Например,
Найти произведение 1) и 2)
РЕШЕНИЕ
1)Укажем размеры заданных матриц:
2) Произведение матриц существует:

3)Найдём элементы матрицы D:
17.08.2020

4) Запишем матрицу D:
17.08.2020

17.08.2020
5)

17.08.2020
4. Умножение на единичную матрицу.
Единичная матрица обладает замечательным свойством, а именно: умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.
.

17.08.2020
Замечание: для произвольной матрицы и единичной матрицы переместительный закон умножения выполняется. Это свойство и объясняет ее название «единичная»: при умножении матриц она обладает таким же свойством, как число 1 при умножении чисел.

17.08.2020
5. Транспонирование матриц
Транспонированной к матрице называется матрица , в которой строки и столбцы поменялись местами.
Например, если

17.08.2020
6. Возведение в степень
Пусть – натуральное число. Для любой квадратной матрицы А степенью матрицы A называется матрица

17.08.2020
3. Свойства алгебраических
операций над матрицами
1. Свойства операций сложения
1. (ассоциативность сложения)
2. (коммутативность сложения)
3. А+ для любой матрицы А того же размера, что и нулевая матрица .
4. Для любой матрицы А существует матрица , для которой .
2. Свойства операции умножения.
1. (ассоциативность умножения)
2. Равенство выполняется не всегда, то есть умножение матриц некоммутативное.

17.08.2020
Например, для матриц и

17.08.2020
3. Дистрибутивность. Для любых матриц , у которых определены соответственно операции сложения и умножения,
4. Умножение матрицы на число.
1)
2)
3)
4)
5. Свойства операции транспонирования
1)
2)
3)
4)

? ЛИТЕРАТУРА
Математики шутят
17.08.2020