Формула полной вероятности и формула Байеса. Формула Бернулли. Лекция 3

Полная группа событий
в результате данного испытания обязательно появится хотя бы одно из них.

Теорема
Если событие А может произойти только вместе с одной из гипотез Н1, Н2…Нn, образующих полную группу попарно несовместных событий, то вероятность события А
Р(А) = Р(Н1)РН1(А) + Р(Н2)РН2(А) + … + +Р(Нn)PHn(A)
Формула полной вероятности

Пример
В цехе работают 20 станков.
Из них 10 марки А, 6 марки В, и 4 марки С.
Вероятности того, что деталь будет без брака для этих станков соответственно равны 0,9, 0,8 и 0,7.
Какова вероятность того, что наугад выбранная деталь будет браком?

Пример
События
А = «Наугад выбранная деталь будет с браком»
Н1 = «Деталь обработана на станке марки А»
Н2 = «Деталь обработана на станке марки В»
Н3 = «Деталь обработана на станке марки С»

Пример
Всего в цехе 20 станков
Р(Н1) = 10/20 = ½=0,5
Р(Н2) = 6/20 = 3/10 = 0,3
Р(Н3) = 4/20 = 1/5 = 0,2
Условные вероятности
PН1(А) = 1 – 0,9 = 0,1
PН2(А) = 1 – 0,8 = 0,2
PН3(А) = 1 – 0,7 = 0,3

Пример
По формуле полной вероятности
Р(А) = Р(Н1)·PН1(А) +
+ Р(Н2) ·PН2(А) +
+ Р(Н3) ·PН3(А) =
= 0,5·0,1 + 0,3·0,2 + 0,2·0,3 =
= 0,05 + 0,06 + 0,06 = 0,17

Формула Байеса
(по имени английского математика, который их вывел. Опубликованы в 1764 году. Формулы Байеса (Бейса)позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Теорема
Если событие А может произойти только вместе с одной из гипотез Н1, Н2…Нn, образующих полную группу попарно несовместных событий, то вероятность гипотез после испытания, когда событие А уже имело место
РA(Нi) = Р(Нi)РНi(А) /Р(A)
Формула Байеса

Пример
Р(Н2) = 0,3
PН2(А) = 0,2
Р(А) = 0,17
По формуле Байеса
РA(Н2) = Р(Н2) · РН2(А) / Р(A) =
= 0,3· 0,2 / 0,17 = 0,06 / 0,17 =
= 0,35

Схема
Бернулли

Якоб Бернулли
(27 декабря 1654 - 16 августа 1705) профессор математики Базельского университета (с 1687).

Вероятность наступления ровно k успехов в n независимых повторениях одного и того же испытания находится по формуле
,
где p – вероятность «успеха»,
q = 1- p - вероятность «неудачи» в отдельном опыте.
Теорема Бернулли
Формула называется формулой Бернулли.

Рассмотрим частные случаи формулы Бернулли. Вероятность того, что успех наступит во всех n испытаниях, равна:
А вероятность того, что успех не наступит ни разу, равна:

Пример (решить самостоятельно)
В цехе работают 20 станков.
Из них 10 марки А, 6 марки В, и 4 марки С. Вероятность того, что деталь будет без брака для этих станков соответственно равны 0,9, 0,8 и 0,7.
Наугад выбрали деталь. Она оказалась с браком.
Какова вероятность того, что она была изготовлена на станке марки В?