Дискретные случайные величины

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , которое описывается плотностью:
где – λ постоянная положительная величина

Функция распределения показательного закона:

График плотности распределения
График функции распределения

Вероятность попадания в интервал (a,b) непрерывной случайной величины X, распределенной по показательному закону:

Математическое ожидание случайной величины, распределенной по показательному закону:

Дисперсия случайной величины, распределенной по показательному закону

Среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по показательному закону:

Пример 1
Случайная величина ξ задана функцией распределения:
Найдите математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этого распределения.
Найдите вероятность того, что случайная величина примет значение от 0,2 до

Решение
Математическое ожидание случайной величины, распределенной по показательному закону:
Среднее квадратическое отлонение:
Вероятность того, что случайная величина примет значение от 0,2 до 1:
Ответ:

Пример 2
Постройте интегральную и дифференциальную функции распределения случайной величины X. Найдите математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение σ(X), если известно, что случайная величина X имеет показательное распределение с параметром λ=1.

Решение
Плотность распределения случайной величины X, распределенной по показательному закону:
Функция распределения:

Математическое ожидание показательно распределенной случайной величины X:
Дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение:

Пример 3
Длительность телефонного разговора подчиняется показательному закону. Найти среднюю длительность разговора, если вероятность того, что разговор продлится более 5 минут, равна 0,4.

Решение
Используем известную формулу для показательного распределения:
По условию, известна вероятность того, что того, что разговор продлится более 5 минут, она равна 0,4:
Тогда средняя длительность разговора:

Пример 4
Среднее время безотказной работы прибора равно 80 часов. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:
а) выражение его плотности вероятности и функции распределения;
б) вероятность того, что в течение 100 часов прибор не выйдет из строя.

Решение
Функция распределения имеет вид:

Найдем вероятность того, что в течение 100 часов прибор не выйдет из строя, то есть вероятность того, что время безотказной работы будет не меньше 100, X ≥100 . Используем известную формулу для показательного распределения:
Подставляем:
Ответ: 0,287.