Дисперсия случайной величины и ее свойства

Дисперсия – одна из наиболее часто применяемых характеристик случайной величины.
Может определяться для
дискретной случайной величины
непрерывной случайной величины

ДИСПЕРСИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

ДИСПЕРСИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Вся информация о случайной величине заложена в законе распределения, а математическое ожидание — это одна из характеристик закона распределения, и в ряде случаев недостаточная для описания случайной величины. Так возникает необходимость указать не только среднее значение случайной величины (примерно равное математическому ожиданию), но и ее разброс в окрестности этого среднего.

ДИСПЕРСИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Как можно было бы описать разброс значений случайной величины?
Можно ввести отклонение случайной величины от ее математического ожидания X - MX, которая также будет случайной величиной. Описать разброс как среднее отклонение оказывается невозможным, так как математическое ожидание отклонения M (X – MX) оказывается всегда равным нулю (отклонения разных знаков будут компенсировать друг друга).

ДИСПЕРСИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Чтобы получить не нулевое среднее отклонение можно говорить о модуле отклонения или квадрате отклонения, в любом случае они будут положит и не будут сокращаться при вычислении МО, при этом среднее значение модуля отклонения или квадрата отклонения будут характеризовать именно этом среднее значения модуля отклонения или квадрата отклонения будут характеризовать именно рассеяние случайной величины в окрестности ее математического ожидания. Обычно используют квадрат отклонения и вводят понятие дисперсии

ДИСПЕРСИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Дисперсией дискретной случайной величины X называется величина
Величина X — случайная, а дисперсия DX, так же, как и математическое ожидание MX, имеет для данного закона распределения вполне определенное значение.

ДИСПЕРСИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Для закона распределения случайной величины дисперсию можно записать так

ДИСПЕРСИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Дисперсия – одна из наиболее часто применяемых характеристик случайной величины.
Она характеризует степень разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания.
СВОЙСТВА

ДИСПЕРСИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Дисперсия всегда неотрицательна, это видно из определения дисперсии: в сумме присутствуют только неотрицательные слагаемые.
СВОЙСТВА

ДИСПЕРСИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Дисперсия неслучайной величины равна нулю, что следует из определения дисперсии и свойства для математического ожидания неслучайной величины.
СВОЙСТВА

ДИСПЕРСИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Дисперсия от случайной величины умноженной на константу равна дисперсии случайной величины умноженной на квадрат константы
СВОЙСТВА

ДИСПЕРСИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Дисперсия суммы или разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий
СВОЙСТВА

ДИСПЕРСИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

ДИСПЕРСИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
По аналогии с дискретной случайной величиной, можно ввести понятие дисперсии для непрерывной случайной величины.

ДИСПЕРСИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата разности между этой случайной величиной и ее математическим ожиданием