Эквивалентные преобразования матриц

Эквивалентные преобразования
умножение строки на ненулевое число
перестановка двух строк
прибавление к одной строке матрицы другой ее строки, умноженной на некоторое ненулевое число
при транспонировании матрицы
1
2
3
4
5
вычеркивание нулевой строки
Эквивалентные преобразования еще называют элементарными.

употребляется знаки: ~; ⇔ ; ↔

Рассмотрим пример эквивалентных преобразований
Пусть задана матраца
А =
3 3
3 2 2
2 х 3
1) Умножим первую строку матрицы на два, то есть каждый элемент первой строки умножаем на двойку
А =
3 3
3 2 2
⇔
В =
1 2 3 2 3 2
3 2 2
6 6
3 2 2
=
В =
6 6
3 2 2
Получили матрицу
такую, что
А
В
⇔
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 1
2 х 3

2) Поменяем первую и вторую строки матрицы местами
Пусть задана матраца
В =
6 6
3 2 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 2
В =
6 6
3 2 2
⇔
С =
3 2 2
2 6 6
С =
Получили матрицу
такую, что
В
С
⇔
3 2 2
2 6 6
эквивалентные преобразования
2 х 3

Пусть задана матраца
С =
3 2 2
2 6 6
3) От первой строки матрицы отнимем вторую строку, получаем эквивалентную матрицу D
2 х 3
С =
3 2 2
2 6 6
⇔
⇔
D =
3-2 2-6 2-6
2 6 6
D =
1 -4 -4
2 6 6
=
1 -4 -4
2 6 6
Получили матрицу
такую, что
C
D
2 х 3
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 3
2 х 3
эквивалентные преобразования

Пусть задана матраца
D =
1 -4 -4
2 6 6
2 х 3
4) Проведём транспонирование матрицы D, получаем эквивалентную матрицу F
D =
1 -4 -4
2 6 6
2 х 3
⇔
F =
1 2
-4 6
-4 6
3 х 2
Вывод: Матрицы А F ,
так как от одной из них перешли к другой при помощи эквивалентных преобразований над строками.
⇔
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 4
эквивалентные преобразования

Определение:
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк матрицы, приведенной к треугольному виду.
Обозначают rang(A) или r(A)
Ответ: rang(A)=2

Метод элементарных преобразований
Задание.
Найти ранг матрицы
0 4 10 1
4 8 18 4
18 40 17
1 7 17 3
А =
Решение.
Шаг 1. Из третий строчки вычтем вторую, умножив её на число два ( преобразование 3)
0 4 10 1
4 8 18 4
18 40 17
1 7 17 3
0 4 10 1
4 8 18 4
10-4 2 18-8 2 40-18 2 17-7 2
1 7 17 3
0 4 10 1
4 8 18 4
2 2 4 3
1 7 17 3
⇔
⇔
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 3

Шаг 2. От второй строки отнимаем четвертую, умноженную на число четыре ( преобразование 3)
0 4 10 1
4 8 18 4
2 2 4 3
1 7 17 3
0 4 10 1
4-1 4 8-7 4 18-17 4 4-3 3
2 2 4 3
1 7 17 3
0 4 10 1
0 -20 -50 -5
2 2 4 3
1 7 17 3
⇔
⇔
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 3
Шаг 3. От третий строки отнимаем четвертую, умноженную на число два ( преобразование 3)
0 4 10 1
0 -20 -50 -5
2 2 4 3
1 7 17 3
0 4 10 1
0 -20 -50 -5
2-1 2 2-7 2 4-17 2 3-3 2
1 7 17 3
0 4 10 1
0 -20 -50 -5
0 -12 -30 -3
1 7 17 3
⇔
⇔

Шаг 4. К второй строки прибавим первую, умноженную на число пять ( преобразование 3)
⇔
0 4 10 1
0 -20 -50 -5
0 -12 -30 -3
1 7 17 3
0 4 10 1
0-0 5 -20+4 5 -50+10 5 -5+1 5
0 -12 -30 -3
1 7 17 3
0 4 10 1
0 0 0 0
0 -12 -30 -3
1 7 17 3
⇔
Шаг 5. К третий строки прибавим первую, умноженную на число три ( преобразование 3)
0 4 10 1
0 0 0 0
0 -12 -30 -3
1 7 17 3
0 4 10 1
0 0 0 0
0+0 3 -12+ 4 3 -30+10 3 -3+1 3
1 7 17 3
0 4 10 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 7 17 3
⇔
⇔
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 3

Шаг 6. Меняем местами первую и вторую строчки.
Далее четвертую и первую строки
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 2
0 0 0 0
0 4 10 1
0 0 0 0
1 7 17 3
0 4 10 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 7 17 3
1 7 17 3
0 4 10 1
0 0 0 0
0 0 0 0
⇔
⇔
4 х 4
С помощью элементарных преобразований над строками матрицу А привели к ступенчатому виду
1 7 17 3
0 4 10 1
0 0 0 0
0 0 0 0
4 х 4
1 7 17 3
0 4 10 1
2 х 4
rang (A) = 2
Ответ:
rang (A) = 2