двугранный угол. перпендикулярные плоскости. признак

Планиметрия
Стереометрия
Углом на плоскости мы называем фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки.
Двугранный угол

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a, не принадлежащими одной плоскости.
Две полуплоскости – грани двугранного угла
Прямая a – ребро двугранного угла
a

Угол РDEK
Двугранный угол АВNМ, где ВN – ребро, точки А и М лежат в гранях двугранного угла
А
В
N
Р
M
К
D
E
Угол SFX – линейный угол двугранного угла

Угол РОК – линейный угол двугранного угла РDEК.
D
E
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.
Алгоритм построения линейного угла.

Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.
1
Лучи ОА и О1А1 – сонаправлены
Лучи ОВ и О1В1 – сонаправлены
Углы АОВ и А1О1В1 равны,
как углы с сонаправленными сторонами

Двугранный угол может быть прямым, острым, тупым

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – равнобедренный.
А
С
В
П-р
Н-я
П-я
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВАСК
К

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – прямоугольный.
А
В
П-р
Н-я
П-я
Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК
К
С

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900.

Примером взаимно перпендикулярных плоскостей служат плоскости стены и пола комнаты, плоскости стены и потолка.

Признак перпендикулярности двух плоскостей.
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
А
С

Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой,
по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой их этих плоскостей.

Плоскости и взаимно перпендикулярны пересекаются по прямой с. Докажите, что любая прямая плоскости , перпендикулярная к прямой с, перпендикулярна к плоскости .
№ 178.
c
C
Подсказка

Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.
№ 180.
c
Подсказка

№ 181.
С
М
a

Плоскости и взаимно перпендикулярны пересекаются по прямой a. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что четырехугольник АСВМ – прямоугольник.
№ 182.
a
С
М

Плоскости и пересекаются по прямой a и перпендикулярны к плоскости . Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости .
№ 183.

Прямоугольный параллелепипед
Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед
Две грани параллелепипеда параллельны.

10. В прямоугольном параллелепипеде все шесть
граней – прямоугольники. 20. Все двугранные углы прямоугольного
параллелепипеда – прямые.
Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Планиметрия
Стереометрия
В прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов двух его измерений.
А
В
С
D
d
a
b
d2 = a2 + b2
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов
трех его
измерений.
d2 = a2 + b2 + с2

C
а
b
с
B
A
D
B1
C1
D1
A1
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Следствие.
Диагонали прямоугольного
параллелепипеда равны.
d2 = a2 + b2 + с2

Ребро куба равно а. Найдите диагональ куба.
№ 188.
D
А
В
С
А1
D1
С1
В1
d2 = a2 + b2 + с2
d2 = 3a2
а
а
а

Найдите расстояние от вершины куба до плоскости
любой грани, в которой не лежит эта вершина, если:
а) диагональ грани куба равна m.
б) диагональ куба равна d.
№ 189.
D
А
В
С
D1
С1
m
Подсказка
В1
А1

Дан куб. Найдите следующие двугранные углы:
a) АВВ1С; б) АDD1B; в) А1ВВ1К, где K – середина
ребра А1D1.
№ 190.
D
А
В
С
А1
D1
С1
В1

Дан куб АВСDА1В1С1D1. Докажите, что плоскости
АВС1 и А1В1D перпендикулярны.
№ 191.
D
А
В
С
А1
D1
С1
В1

Найдите тангенс угла между диагональю куба и
плоскостью одной из его граней.
№ 192.
D
А
В
С
А1
D1
С1
В1
Подсказка
П-Р
Н-я

№ 193.
D
А
В
С
А1
D1
С1
В1
Подсказка
Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1.
Найдите расстояние между:
а) прямой А1С1 и и плоскостью АВС;

№ 193.
D
А
В
С
А1
D1
С1
В1
Подсказка
Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1
Найдите расстояние между: б) плоскостями АВВ1 и DCC1;

№ 193.
D
А
В
С
А1
D1
С1
Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1.
Найдите расстояние между:
в) прямой DD1 и плоскостью АСС1.
Подсказка
В1

Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба и ребро куба;
№ 194.
D
А
В
С
D1
С1
а
В1
А1
Подсказка

Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: б) диагональ куба и диагональ грани куба.
№ 194.
D
А
В
С
D1
С1
а
В1
А1
Подсказка

№ 196.
D
В
D1
С1
Изобразите куб АВСDА1В1С1D1 и постройте его
сечение плоскостью, проходящей через:
а) ребро АА1 и перпендикулярной к плоскости ВВ1D1;
А
А1
С
В1

№ 196.
Изобразите куб АВСDА1В1С1D1 и постройте его
сечение плоскостью, проходящей через:
б) ребро АВ и перпендикулярной к плоскости СDA1.
D
В
D1
С1
А
А1
В1
С

D
А
В
С
А1
D1
С1
В1
1. Найдите угол А1ВС1
2. Доказать, что MN II А1С1, где M и N – середины ребер куба.

Найдите площадь сечения, проходящего
через точки А, В и С1
D
В
D1
С1
А
А1
В1
С
7
8
6

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – тупоугольный.
А
В
П-р
Н-я
П-я
Угол ВSN – линейный угол двугранного угла ВАСК
К
С

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
АВСD – прямоугольник.
А
В
П-р
Н-я
П-я
Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВDСК
К
С
D

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
АВСD – параллелограмм, угол С острый.
А
В
П-р
П-я
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК
К
С
D
Н-я

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
АВСD – параллелограмм, угол С тупой.
А
В
П-р
П-я
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК
К
С
D
Н-я

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
АВСD – трапеция, угол С острый.
А
В
П-р
П-я
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК
К
С
D
Н-я

№ 166.
M
N
А
П-р
Н-я
П-я
Угол АВС – линейный угол двугранного угла АМNC

С
А
В
D
M
В тетраэдре DАВС все ребра равны, точка М – середина ребра АС. Докажите, что угол DМВ – линейный угол двугранного угла ВАСD.
№ 167.

Двугранный угол равен . На одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.
№ 168.
В
d
А
?