Элементы теории вероятностей

Учебные материалы

Комбинаторика изучает число комбинаций из предметов
Перестановки - важен только порядок.
Пример. Сколькими способами можно расставить 5 различных книг на полке?
5.1.Элементы комбинаторики

Рассмотрим n занумерованных ячеек:
Pn = n(n - 1)(n - 2)...⋅3⋅2⋅1=n! (факториал)

Размещения: определение, формулы для вычисления числа размещений (без возвращения/с возвращением), пример

-- важен порядок и состав.
Пример. Всего 10 цифр. Сколькими способами можно составить трехзначный номер?
Размещения

Формула выводится с помощью k ячеек

Размещения с повторениями.
Все важно – и порядок, и предметы, причем их можно повторять.

В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены
различные призы?

Сочетания: определение, формулы для вычисления числа сочетаний , пример

Разные предметы, порядок не важен.
Пример. В группе 20 человек. Сколькими способами можно выбрать трех делегатов на конференцию?
Сочетания

Создатели теории вероятностей

5.2. Алгебра событий

Определение вероятности событий: классическое, геометрическое, статистическое

Примеры непосредственного вычисления вероятностей случайных событий
Формула

Брошена игральная кость. Какова вероятность выпадения простого числа?
Перечислим все простые числа от 1 до 6. Это 1,2,3,5.

Брошен кубик два раза подряд. Какова вероятность, что оба раза выпадут четные числа?
Событие --- выпали четные числа.
2,4,6 --- оба раза.
событий. На каждую цифру №1 есть 6 возможностей цифры №2.

Правило умножения
Если комбинация состоит из вариантов, каждый вариант состоит из других вариантов то пара
состоит из вариантов

Вычислим , то есть перечислим пары

Монету бросали 3 раза. Найти вероятность того, что «решка» выпала 2 раза.
Переберём все возможные исходы
о о о о р р р р
р р о о р р о о n=8; m=3; P(A)=3/8
р о р о р о р о
Задача

5.3.Основные теоремы теории
вероятностей

Повторные испытания Бернулли

ФОРМУЛА ПУАССОНА

Формула полной вероятности
Пусть даны два события и
причем является суммой новых событий:

Так как то
получаем формулу, которая называется формулой полной вероятности

Пример. В группе спортсменов 5 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна.
Вероятность выполнить квалификационную норму:
для лыжника – 0,9; для велосипедиста – 0,8; для бегуна – 0,75.
Найти вероятность, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.

Введем событие
--- спортсмен выполнит норму.
Гипотезы:
--- лыжник,
--- велосипедист,
--- бегун.

Вероятность того, что потребитель увидит рекламу некоторого товара, оценивается как 0,2. Вероятность покупки этого товара потребителем под влиянием рекламы составляет 0,4, а без рекламы – 0,2. Найти вероятность покупки данного товара потребителем
Пример

Решение: используем так называемое «дерево вероятностей»
В качестве отправной точки изобразим круг, обозначающий событие «увидит рекламу» и проведем от него два отрезка, соответствующие альтернативам «да» и «нет»; в конце каждого из отрезков расположим событие «покупка», от каждого из которых, в свою очередь, проведем по два отрезка – «да» и «нет». Получим следующую схему
Дерево вероятностей

Двигаясь по каждой «ветке» слева направо, перемножим все вероятности, попадающиеся на пути, и запишем полученные значения в конце. Интересующее нас событие происходит только на тех «ветках», где оно имеет место на последнем участке. Полная вероятность покупки продукта равна сумме вероятностей на первой и третьей «ветках», то есть 0,24.

Если рассмотрение событий (гипотез) Н1, Н2,…, Нп позволяет делать какие-то заключения относительно события A, то естественно предположить, что верно и обратное, то есть что по известной полной вероятности P(A) можно найти или уточнить вероятности отдельных гипотез. Такую возможность дает формула Байеса:

Пример.
Клиент звонит на сервисный номер с целью получить консультацию. Все звонки распределяются между тремя колл-центрами. Процент загруженных операторов считается одинаковым и постоянным для всех колл-центров. В первом колл-центре 20 операторов, во втором – 15, в третьем – 25. Известно, что сотрудники первого центра дают неточную информацию в 10% случаев, второго – в 5%, третьего – в 4%. Применяя полученную информацию, клиент обнаружил, что она неточная. Найти вероятность того, что его консультировал оператор второго колл-центра.

Решение: обозначим событие А – информация неточная, событие Hi – оператор относится к i-му колл-центру. Распишем все необходимые вероятности, учитывая выражение для P(A). , ,
, , ,
.
Тогда =
=0,2