Элементы теории вероятностей и математической статистики и их применение в расчетах надежности

Основные понятия теории вероятностей
1
Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности
в случайных явлениях. Одним из основных понятий является понятие
случайного события (в дальнейшем просто событие).
Отказ – событие случайное.
Событием называется всякий факт (исход), который в результате опыта
(эксперимента) может произойти или не произойти. Каждому из таких событий
можно поставить в соответствие определенное число, называемое его
вероятностью и являющееся мерой возможного совершения этого события.
Множество – это любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых называется элементом множества. Множества обозначаются по-разному: или одной большой буквой или перечислением его элементов, данным в фигурных скобках, или указанием (в тех же фигурных скобках) правила, по которому элемент относится к множеству.

Вероятностные и статистические оценки случайных событий и величин
2
Случайное событие – называется качественный
результат опытов, который может произойти
или непроизойти.
Вероятность случайного события – называется
степень объективной возможности этого события,
выраженная числом.
Математическая вероятность
появления события обозначается
Случайная величина - переменная величина,
которая в результате опыта принимает одно из
возможных заранее неизвестных значений.
дискретная (прерывная)
непрерывная
Закон распределения случайной величиной
задается функцией распределения, F(x)
Производная от функции распределения
называется плотностью распределения
случайной величины
Статистическая вероятность события А
обозначается - Р*[А]
Статистическую вероятность события А
вычисляют как отношение числа
благоприятных случаев т к общему
числу случаев n:
Вероятность события А – отношение
числа достоверных этому событию исходов
к общему числу исходов
Р(А) = m / n
- вероятность достоверного события равна 1
Р(А) = m / n = n / n = 1
- вероятность невозможного события равна 0
Р(А) = m / n = 0 / n = 0

математическое ожидание;
дисперсия;
среднее квадратичное отклонение;
коэффициент вариации
Математическое ожидание случайной величины Х характеризует некоторое число, около которого группируются возможные значения случайной величины:
3
Числовые характеристики случайных величин:
Математическое ожидание дискретной случайной величины
называют сумму произведений всех возможных значений на их вероятности
М(X) = х1р1 + х2р2 + …+ хnрn

Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень
из дисперсии:
Коэффициентом вариации случайной величины называется отношение:
4
Числовые характеристики случайных величин:
Дисперсией называется числовая характеристика, применяемая для оценки
разброса значений случайной величины около ее среднего значения.
Дисперсия обозначается символом D [Х]
и определяется как математическое ожидание квадрата отклонений случайной
величины от ее математического ожидания.

Пример 1
Найти математическое ожидание случайной величины Х,
зная закон ее распределения
Решение:
Искомое математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:
М(Х) = 3 · 0,1 + 5 · 0,6 + 2 · 0,3 = 3,9
Решение задач
5