Элементы векторной алгебры

§ 1. ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ
Пусть в пространстве задана ось, т.е. направленная прямая. Направление прямой будем обозначать стрелкой. Заданное направление оси будем считать положительным, противоположное — отрицательным.
.
Здесь под перпендикуляром AA′ понимается прямая, пересекающая ось l и составляющая с ней прямой угол. Таким образом, проекция A′ есть пересечение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной оси l, с этой осью.
Определение 1. Проекцией точки A на ось l называется основание A′ перпендикуляра AA′, опущенного из точки A на эту ось.

Определение 2. Под компонентой (cоставляющей) вектора относительно оси l понимается вектор
начало, которого A′ есть проекция на ось l начала A вектора a , а конец, которого B′ есть проекция на ось l конца B этого вектора.
Определение 3. Под проекцией вектора а на ось l принимается скаляр
Если, a = 0 , то полагают al = 0
Заметим, что если e — единичный вектор оси l, то для компоненты a′ справедливо равенство
равный длине его компоненты a′ относительно оси l, взятой со знаком плюс, если направление компоненты совпадает с
направлением оси l, и со знаком минус, если направление компоненты противоположно направлению оси l.

Теорема 1. Проекция вектора, а на ось l равна произведению длины a вектора на косинус угла между направлением вектора и направлением оси, т. е.
Доказательство. Так как вектор, a = OA свободный, то можно предположить, что начало его O лежит на оси l.
1) Если угол ϕ , между вектором a и осью l острый (0 ≤ ϕ ≤ π /2) то направление компоненты a′ = OA′ вектора a совпадает с направлением оси l. В этом случае имеем
2) Если же угол ϕ , между вектором a и осью l тупой (π / 2 ≤ ϕ ≤ π ) то направление компоненты a′ = OA′ вектора a противоположно направлению оси l . Тогда получаем