kg_1_prosteyshie_mat_operatsii

Исторический экскурс
3 сентября декабря – день комп. графики (3December)

Исторический экскурс
1950-е годы: от текстовых изображений к графической консоли

1950-е годы
1950, Бенджамин Лапоски, рисунки на осциллографе

1950-е годы
1952, Александр Дуглас, игра ОХО для компьютера EDSAC

1950-е годы
1955, IBM???, световое перо

1950-е годы
1957, Расселл Кёрш, барабанный сканер для компьютера SEAC, первая в мире цифровая фотография

1950-е годы
1958, MIT, Lincoln TX-2, графическая консоль

1950-е годы
1958, Джон Уитни, предиктор Керрисона, заставка к фильму Хичкока «Головокружение»

1960-е годы: от "Альбома" к мультипликации
1960, Уильям Феттер, Boeing Aircraft, термин «компьютерная графика»

1960-е годы
1962, Стив Рассел, Spacewar! для компьютера DEC PDP-1

1960-е годы
1963, Айван Сазерленд, Sketchpad для TX-2

1960-е годы
1963, Кен Ноултон, BeFlix – первый язык КГ
1965-1971, Стэн Вандербик, Poem Field
1967, университет Юты, НИИ КГ
1968, Evans&Sutherland
Эдвин Кэтмелл, Disney Pixar
Джон Уорнок, Adobe Systems, PostScript
Джеймс Кларк, Silicon Graphics, Netscape
1968, Николай Константинов, «Кошечка»

Алгебраическое изображение точек

Матричные операции. Определения.
Матрица
Порядок матрицы
Главная диагональ
Нулевая матрица
Единичная матрица

Сложение и вычитание матриц

Умножение матриц
A[k * m1], B[m2 * n], m1=m2 → A * B = C[k * n]

Определитель квадратной матрицы
Aij – алгебраическое дополнение матрицы A (матрица (n-1)*(n-1), получаемая путем вычеркивания из матрицы А элементов i-ой строки и элементов j-ого столбца)

Определитель квадратной матрицы

Обращение квадратной матрицы
АТ = В → , А-1 — обратная к А
T – операция транспонирования(строки – в столбцы, столбцы – в строки)

Обобщение сути задач КГ
Интерпретация матричного умножения как геометрического оператора является основой математических преобразований, используемых в машинной графике.

Преобразование точек
a>1 – увеличение масштаба,
0
а<0 – отображение по оси у

Преобразование точек

Преобразование точек

Преобразование прямых линий

Преобразование середины отрезка

Преобразование параллельных линий

Преобразование пересекающихся линий

Вращение вокруг начала координат
90 градусов
180 градусов
270 градусов

Отображение
Ось y=x
Ось y=0

Изменение масштаба
Изменение масштаба определяется значением двух членов основной диагонали матрицы.
a=d – масштабирование
a<>d – масштабирование с искажением

Произвольная матрица вращения

Однородные координаты и двумерное смещение
Представление n-мерного вектора (n+1)-мерным называется однородным координатным воспроизведением; координаты x, y, h - однородными координатами.

Однородные координаты и двумерное смещение
Все преобразования матрицей 2×2 (вращение, отображение, покоординатное масштабирование, смещение) реализуются в однородных координатах с помощью матрицы:

Общий вид матрицы преобразования 3х3
a, b, c, d – масштабирование, сдвиг и вращение
m, n – перенос(двумерное смещение)
p, q, s – ???

Полное изменение масштаба
Аналогично использованию двумерной матрицы
s>1 – уменьшение, s<1 – увеличение

Получение проекций
Переменная H – уравнение плоскости в трёхмерном пространстве