Формулы сложных процентов в задачах с финансово-экономическим содержанием

Задачи, которые будут рассмотрены сегодня, взяты из жизни. Наша цель – научиться анализировать реальные ситуации с помощью того математического аппарата, которым вы владеете. Очень важно, чтобы вы не только получали ответ, но и могли его истолковать, соотнести с реальностью

Повторение теоретического материала
Запишите на доске сложных процентов и ее частный случай[An = A0 · (1 ± 0,01x1) · …· (1 ± ±0,01xn); An = A0 · (1 ± 0,01x)ⁿ.]
Объясните смысл входящих в формулу символов[A0 – начальное значение некоторой величины; An – значение, которое получилось в результате нескольких изменений начальной величины; n – количество изменений начальной величины; х – процент изменения].

Когда применяется общая формула, а когда – ее частный случай? [Частный случай применяется тогда, когда некоторая величина A0 изменяется несколько раз на один и тот же процент. Общая формула используется тогда, когда процент изменения не остается одним и тем же].
В каких случаях в формуле сложных процентов ставим знак «-», в каких «+»? Приведите примеры. [Знак «плюс» применяется в задачах о начислении процентов по вкладу в банке, а также при подсчете увеличения цены товара. Знак «минус» применяется при подсчете снижения цены].
Запишите формулу процентного сравнения.
[A>B на ((А-В)/В·100)%; В<А на ((А-В)/А х х100)%].

Проверке домашнего задания
Домашняя задача №1.
Какой процент ежегодного дохода давал банк, если, положив на счет 13 000 руб., вкладчик через 2 года получил 15 730 руб.?
Решение. А2 = А0(1 + 0,01х)²,
15 730 = 13 000(1 + 0,01х)²,
(1 + 0,01х)² = 1,21,
1 + 0,01х = 1,1 или 1 + 0,01х = -1,1;
х1 = 10, х2 = -210 – не подходит по смыслу задачи.
Ответ: банк давал 10% годового дохода.

Сверив свое решение с решениями других ребят, учитель задает дополнительные вопросы: Почему не подходит корень х2 = -210? [Сумма вклада увеличивается, и поэтому процент изменения не может быть отрицательным].
За счет чего банк имеет возможность выплачивать вознаграждение вкладчику? [Полученные от вклада деньги банк использует для выдачи кредитов организациям и частным лицам под проценты. Банк при этом сам получает прибыль и делится частью этой прибыли с вкладчиком].

А если бы х2 был равен 210? Мы тоже отбросили бы этот корень? [Да, так как это означало бы, что банк выплачивает 210% годовых. Такой процент нереален. Ни один банк не будет давать вкладчику за год в качестве процентных отчислений сумму, которая вдвое превышает сам вклад].
Кроме банка, какие предприятия или частные лица занимаются подобной финансово-кредитной деятельностью? [Ломбард – выдает деньги в залог сданных вещей, выкупать которые приходится за большую цену. Ростовщик – человек, дающий
деньги «в рост», т.е. в долг с обязательством
выплачивать проценты].

Домашняя задача №2.
Цена товара после двух последовательных снижений на один и тот же процент уменьшилась с 125 до 80 руб. На сколько процентов снижалась цена каждый раз?
Решение. А2 = А0(1 + 0,01х)²,
80 = 125(1 – 0,01х)².
(1 – 0,01х)² = 0,64,
1 – 0,01х = 0,8 или 1 – 0,01 = -0,8;
х1 = 20, х2 = 180 – не подходит по смыслу задачи.
Ответ: цена снижалась два раза на 20%.

Решение задач
Задача 1. В осенне-зимний период цена на свежие фрукты возрастала трижды: на 10%, на 20% и на 25%. На сколько процентов возросла зимняя цена по сравнению с летней?
Решение. Обозначим первоначальную летнюю цену за A0, а окончательную через А3, так как она установилась после трех изменений. По условию А3 = A0 · (1 + 0,01 · 10) · (1 + 0,01 · 20) · (1 + +0,01· 25), т.е. А3 = A0 · 1,1 · 1,2 · 1,25, или А3 = A0 · 1,65.
По формуле процентного сравнения (А3-A0) / A0 · 100% = (1,65 · A0 - A0) / A0 · 100% = 65%.
Ответ: цена возросла на 65%.

Задача 2. Владелец магазина купил товар по себестоимости: 51,2 руб. за единицу товара. На пути к прилавку цена поднималась трижды на один и тот же процент. Товар продавался плохо, и коммерсант распорядился трижды сделать скидку на тот же самый процент. В итоге цена оказалась равной 21,6 руб. Найти процент изменения цены.
Решение. Обозначим первоначальную цену через A0, а цену после трехкратного
повышения через А3, а после
троекратного понижения – через А6.

Отразим условие схемой, на которой х означает процент изменения цены (сначала повышения, потом понижения).
A0 · (1 + 0,01х)³ А3 · (1 – 0,01х)³ А6
51,2 21,6.
Из схемы видно, что А3 = 51,2 · (1 + 0,01х)³ играет роль начальной цены на этом этапе троекратного понижения, т.е. А6 = А3 · (1 – 0,01х)³. Таким образом, приходим к уравнению
21,6 = 51,2(1 + 0,01х)³ · (1 – 0,01х)³.

21,6 = 51,2((1 + 0,01х) (1 – 0,01х))³
216 = 512 ((1 – (0,01х)²)³
((1 – (0,01х)²)³ = 216/512
((1 – (0,01х)²)³ = (6/8)³
1 – (0,01х)² = 0,75
(0,01х)² = 0,25
0,01х = 0,5 или 0,01х = -0,5 – не подходит по смыслу
Ответ: цену изменили на 50%.

Задача 3. На предприятии выработка продукции возросла за год на 4%, а на следующий год повысилась еще на 8%. Найти средний годовой прирост за эти два года.
Решение:
Можно ли дать ответ, вычислив среднее арифметическое (8+4) / 2 = 6%? [Нет, так как во втором случае находим процент от большей величины].
с одной стороны, А2 = А0 · (1 + 0,04) · (1 + 0,08),
с другой стороны, А2 = А0 · (1 + 0,01х)², где х – средний одинаковый для каждого года, процент прироста
продукции.
Выполнить решение задачи дома.