Уравнения и способы их решения

Содержание:
1. План
2. Введение
3. Основная часть
4. Заключение
5. Общие выводы по работе
6. Список использованной литературы

План:
1. Введение.
2. Историческая справка.
3. Уравнения. Алгебраически уравнения.
а) Основные определения.
б) Линейное уравнение и способ его решения.
в) Квадратные уравнения и способы его решения.
г) Уравнения четвертой степени и способы его
решения
д) Рациональное алгебраическое уравнение
и способ его решения.
е) Иррациональные уравнения
и способы его решения.

Математика... выявляет порядок,
симметрию и определенность,
а это – важнейшие виды прекрасного.
Аристотель

Введение
Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Мы расположили материал по степени его сложности, начиная с самого простого. В него вошли как известные нам виды уравнений из школьного курс алгебры, так и дополнительный материал. При этом мы попытались показать виды уравнений, которые не изучаются в школьном курсе, но знание которых может понадобиться при поступлении в высшее учебное заведение. В нашей работе при решении уравнений мы не стали ограничиваться только действительным решением, но и указали комплексное, так как считаем, что иначе уравнение просто недорешено. Ведь если в уравнении нет действительных корней, то это еще не значит, что оно не имеет решений.

Цель: Определить какие способы чаще всего
применяются для решения уравнений.
Задачи:
Показать необходимость применения различных способов к решению уравнений.
Изучить теоретический материал по данному вопросу.
Прорешать уравнения, акцентируя внимание на использовании различных способов их решения.

Историческая справка:
Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.
Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Уравнения. Алгебраические уравнения
В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.

Тождество – это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него переменных ). Для записи тождества наряду со знаком = также используется знак .

Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита:
а,b,c…-или теми же буквами, снабженными индексами. Другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (их обычно обозначают последними буквами латинского алфавита:
x,y,z… или теми же буквами, снабженными индексами

Линейным уравнением называется уравнение первой степени.
(1)
где a и b – некоторые действительные числа.
Линейное уравнение всегда имеет единственный корень , который находится следующим образом.
Прибавляя к обеим частям уравнения (1) число -b, получаем уравнение
(2)
эквивалентное уравнению (1). Разделив обе части уравнения (2) на величину а, получаем корень уравнения (1):
Линейное уравнение

Алгебраическое уравнение второй степени.
(3)
где a, b , c – некоторые действительные числа, называется квадратным уравнением. Если a=1, то квадратное уравнение (3) называется приведенным.
Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле
Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения.
При этом:
если , то уравнение имеет два различных действительных корня;
если , то уравнение имеет один действительный корень кратности 2;
если , то уравнение действительных корней не имеет, а имеет два комплексно сопряженных корня:
Квадратное уравнение

Уравнения n-й степени вида
(8)
называется двучленным уравнением. При a >0 и b >0 решается заменой
Где - арифметическое значение корня, уравнение (8) приводится к уравнению
которое и будет далее рассматриваться.
Двучленное уравнение при нечетном n имеет один действительный корень y=1 . В множестве комплексных чисел это уравнение имеет n корней (из которых один действительный и n-1 комплексных):
( k=0, 1, 2, ..., n-1 ). (9)
Двучленное уравнение при четном n в множестве действительных чисел имеет два корня
,
а в множестве комплексных чисел n корней, вычисляемых по формуле (9).
Двучленное уравнение при четном n имеет один действительный корень у=-1 , а в множестве комплексных чисел n корней, вычисляемых по формуле
( k= 0, 1, 2, ..., n-1 ). (10)
Двучленное уравнение

Алгебраическое уравнение четвертой степени.
где a, b, c – некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением.
Заменой уравнение сводится к квадратному уравнению
с последующим решением двух двучленных уравнений и ( и - корни соответствующего квадратного уравнения).
Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня:
Если , , то биквадратное уравнение имеет два действительных корня и два мнимых сопряженных корня:
Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня:
Алгебраическое уравнение четвертой степени

Рациональным алгебраическим уравнением называется уравнение вида (17)
где и - многочлены. Далее для определенности будем полагать, что - многочлен m-й степени, а - многочлен n-й степени.
Множество допустимых значений рационального алгебраического уравнения (17)
задается условием , т. е. , , ..., где , , ..., - корни многочлена .
Метод решения уравнения (17) заключается в следующем . Решаем уравнение
корни которого обозначим через
Сравниваем множества корней многочленов и . Если никакой корень многочлена не является корнем многочлена , то все корни многочлена являются корнями уравнения (17). Если какой-нибудь корень многочлена является корнем многочлена , то необходимо сравнить их кратности: если кратность корня многочлена больше кратности корня многочлена , то этот корень является корнем (17) с кратностью, равной разности кратностей корней делимого и делителя; в противном случае корень многочлена не является корнем рационального уравнения (17).
П р и м е р. Найдем действительные корни уравнения
где , .
Многочлен имеет два действительных корня (оба простые):
, .
Многочлен имеет один простой корень . Следовательно, уравнение имеет один действительный корень .
Решая то же самое уравнение в множестве комплексных чисел, получим, что уравнение имеет, кроме указанного действительного корня, два комплексно сопряженных , .
корня:
Рациональное уравнение

Уравнение, содержащее неизвестное (либо рациональное алгебраическое выражение от неизвестного) под знаком радикала, называют иррациональным уравнением. В элементарной математике решения иррациональных уравнений отыскивается в множестве действительных чисел.
Иррациональное уравнение

Приведем некоторые стандартные, наиболее часто применяемые методы решения
Одним из самых простых является метод освобождения от радикалов путем последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую натуральную степень. При этом следует иметь в виду, что при возведении обеих частей уравнения в нечетную степень полученное уравнение, эквивалентное исходному, а при возведении обеих частей уравнения в четную степень полученное уравнение будет, вообще говоря, неэквивалентным исходному уравнению. В этом легко убедиться, возведя обе части уравнения
в любую четную степень. В результате этой операции получается уравнение
множество решений которого представляет собой объединение множество решений:
Способ введения новых неизвестных, относительно которых получается либо более простое иррациональное уравнение, либо рациональное уравнение.
Решить иррациональное уравнение:

Множество допустимых значений этого уравнения:
Положив , после подстановки получим уравнение
или эквивалентное ему уравнение
которое можно рассматривать как квадратное уравнение относительно у. Решая это уравнение, получим
Следовательно, множество решений исходного иррационального уравнения представляет собой объединение множеств решений следующих двух уравнений:
Возведя обе части каждого из этих уравнений в куб, получим два рациональных алгебраических уравнения:

Решая эти уравнения, находим, что данное иррациональное уравнение имеет единственный корень х=2.
В заключение заметим, что при решении иррациональных уравнений не следует начинать решение уравнения с возведения обеих частей уравнений в натуральную степень, пытаясь свести решение иррационального уравнения к решению рационального алгебраического уравнения. Сначала необходимо посмотреть, нельзя ли сделать какое-нибудь тождественное преобразование уравнения, которое может существенно упростить его решение.

Заключение
Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.
В данной работе были представлены далеко не все, способы решения уравнений и даже не все их виды, а только самые основные. Мы надеемся, что наша работа может послужить неплохим справочным материалом при решении тех или иных уравнений для старших классов. В заключении хотелось бы отметить, что при написании данного работы мы не ставили себе цели показать все виды уравнений.

Общие выводы по работе
Математика содержит множество способов и подходов к решению уравнений.
В школьном курсе чаще используются:
квадратное, линейное, рациональные
алгебраические и другие уравнения.
3. Из опыта решения уравнений мы установили что решение конкретного вида уравнений предполагает использование как одного, так и нескольких способов его решения.

Список использованной литературы
1. Глав. ред. М. Д. Аксенова. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. – М.: Аванта+, 1998. – 688 с.
2. Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. Справочник по математике для средней школы. – М.: Наука, 1980.- 400 с.
3. Г. Корн и Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1970.- 720 с.