Графический метод решения уравнений с параметром

Цель работы: выявить наиболее рациональное решение, быстро приводящее к ответу.
Задача:
- рассмотреть теорию методов решения задач с параметрами;
- разобрать поэтапно способы решения задач с параметрами на примерах;
- сделать выводы по изученному материалу.
Объект исследования: Уравнения с параметрами.
Методы исследования:
Эмпирический: формирование проблемы, гипотезы, задач, составление плана работы, оформление результатов исследовательской работы.
Теоретический: анализ литературных и архивных данных, работа в Интернете

История возникновения
Задачи на уравнения с параметром встречались уже в астрономическом трактате «Ариабхатиам», составленном в 499 году. Индийский учёный изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к канонической системе.

Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
1) «Квадраты равны корням», т. е. αx2 = bx.
2) «Квадраты равны числу», т. е. αx2 = c.
3) «Корни равны числу», т. е. αx = c.
4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. αx2 + c = bx.
5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. αx2 + bx = c.
6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bx + c = αx2.

Теорема Виетта
(α + b)x – x2 = αb, Т. е. x2 - (α –b)x + αb =0, то x1 = α, x2 = b.
Теорема Виетта- теорема, выражает связь между параметрами, коэффициентами квадратного уравнения и его корнями. Таким образом, Виета установил единообразие в приёмах решения уравнений.

Основные понятия
Параметр- независимая переменная, значение которой считается фиксированным или произвольным числом, или числом, принадлежащим заданному условием задачи промежутку.
Уравнение с параметром- математическое уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.
Системой допустимых значений переменных a,с,k,х называется любая система значений переменных, при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения.
Равносильными уравнениями, называются два уравнения содержащие одни и те же параметры.

Методы решения уравнений с параметрами
1.Аналитический метод
2.Графический метод
3.Алгебраический метод
4.Метод симметрии
5.Решение с помощью производной

Небольшая история возникновения этого метода.
Исследование общих зависимостей началось еще в 14 веке. Французский учёный Николай Орем стал изображать интенсивность длинами отрезков. Когда он располагал эти отрезки перпендикулярно некоторой прямой, их концы образовывали линию, названную им « линией интенсивности»
Понятие переменный величины, ввёл французский философ и математик Рене Декарт. Также он ввёл фиксированный единичный отрезок и стал рассматривать отношение других отрезков к нему. Таким образом, графики функций за всё время прошли через фундаментальные преобразования., приведших их к тому виду, как мы привыкли.

Графический метод
График функции- множество точек, у которых с абсциссы являются допустимыми значениями аргумента х, а ординаты- соответствующими значениями функции у.
При графическом решении уравнения с параметром необходимо:
1.Найти область определения уравнения, т.е. область допустимых значений неизвестного и параметра, при которых уравнение может иметь решения.
2.Выразить параметр как функцию от x:
3.В системе координат хОa построить графики функций и для тех значений х, которые входят в область определения уравнения.
4.Определить точки пересечения прямой с графиком функции .

Виды уравнений с параметрами
Линейное ( ax=b)
Квадратное(ax^2+bx+c=0)
Логарифмическое
Тригонометрическое

Решение логарифмического уравнения с параматером

Заключение
Таким образом, графический способ определения числа корней уравнения зависимости от входящего в него параметра, является более удобным, чем аналитический.
И в заключении хотелось бы сказать, что работа над данной темой была интересной и познавательной. Изучив метод решения уравнений с параметром, я обогатила свой опыт:
-Новыми понятиями
-Узнала методы, которые выходят из рамки школьной программы.
-Углубила и расширила свои знания.
Изучив данную тему, можем сделать вывод. Параметр- это буква, которая никому ничем не обязана и может принимать любые допустимые значения.

Список использованной литературы:
1. Справочник по математике. Автор Гусев В.А
2. Окунев А.А « Графическое решение уравнений с параметрами»
3. Письменский Д.Т « Математика для старшеклассников»
4. Ястрибинецкий Г.А « Уравнений и неравенства, содержащие параметры»
5. Г.Кори и Т.Корн « Справочники по математики»
6. http://studentbank.ru/view.php?id=54456&p=2
7. http://works.tarefer.ru