Инструментальные средства работы с графической информацией. Лекция 3

Лекция 3
Преобразование координат

Координатный метод был введен в XVII веке французскими математиками Р.Декартом и П.Ферма каждая точка (пиксел) на экране монитора, на листе бумаги при печати задается координатами
любой объект находится в пространстве и описывается своими координатами
при изменении положения объекта в пространстве изменяются его координаты
Координатный метод

Пусть задана n-мерная система координат в базисе (k1, k2, …, kn), которая описывает положение точки в пространстве с помощью числовых значений ki
Если задать другую, N-мерную, систему координат в базисе (m1, m2, …, mN) и поставить задачу определения координат в новой системе, зная координаты в старой, то решение можно записать в таком виде (1)
где fi – функция пересчета i-ой координаты
Обратная задача: по известным координатам (m1, m2, …, mN) определить координаты (k1, k2, …, kn), записывается в виде (2)
где Fi – функция обратного преобразования
(1)
(2)
Преобразование координат

По виду функции преобразования различают линейные и нелинейные преобразования
Если при всех j=1, 2, …, N функции fj – линейные относительно (k1, k2, …, kn), то есть
fj = aj1k1 + aj2k2 +…+ ajnkn + ajn+1,
где aji – константы, то такие преобразования называются
линейными, а при n=N – аффинными
Если хотя бы при одном j функция fj – нелинейная относительно (k1, k2, …, kn), тогда преобразование координат в целом является
нелинейным
Преобразование координат

Линейные преобразования наглядно записываются в матричной форме
т.е. матрица коэффициентов aij умножается на матрицу-столбец ki, и в результате будем иметь матрицу-столбец mi
Преобразование координат

Зададим некоторую двумерную систему координат (x,y). Аффинное преобразование на плоскости описывается формулами
где A, B, …, F – константы. Значение (X,Y) можно рассматривать как координаты в новой системе координат
Обратное преобразование (X,Y) в (x,y) также является аффинным:
В матричном виде:
Аффинные преобразования на плоскости

1. Параллельный сдвиг координат
0 dx x
dy
y
0 X
Y
В матричной форме:
Обратное преобразование:
Аффинные преобразования на плоскости

2. Растяжение-сжатие осей координат
0 x X
y
Y
В матричной форме:
Обратное преобразование:
Аффинные преобразования на плоскости

3. Поворот
В матричной форме:
Обратное преобразование:
y
Y
X
x
P
α
Аффинные преобразования на плоскости

В общем виде записываются
где A, B, …, N – константы
В матричном виде
.
Трехмерные аффинные преобразования

.
1. Сдвиг осей координат соответственно на dx, dy, dz:
2. Растяжение/сжатие на kx, ky, kz:
Трехмерные аффинные преобразования

.
3. Повороты – в трехмерном пространстве существует больше разновидностей поворота, сравнительно с двумерным пространством
Поворот вокруг оси x на угол ϕ
Трехмерные аффинные преобразования