Касательная к окружности. Свойства касательных к окружности

Повторим
Окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности.
Расстояние от точек окружности до ее центра называется радиусом окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.
Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.

Повторим
Окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности.
Расстояние от точек окружности до ее центра называется радиусом окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.
Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.

Случаи взаимного расположения прямой и окружности
dd d r
dd d =d = d = r
dd d >d > d > r

d
Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.
Прямая АВ называется секущей по отношению к окружности.

Секущая
Определение: Секущая – прямая, пересекающая окружность в двух точках.

d=r
Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.
m
m – касательная по
отношению к окружности

Касательная
Определение:
Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

d>r
Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

ТЕСТ
Соотнесите:
d < r d > r d = r

ТЕСТ
Соотнесите:
d < r d > r d = r

Пример 1. Пусть d – расстояние от центра окружности радиуса r до прямой m. Определи, каково будет взаимное расположение прямой m и окружности, если
r = 15 см, d = 10 см;
r = 5 см, d = 12 см;
r = 8 см, d = 8 см.
Решение.
Так, как d < r, отсюда следует, что окружность и прямая m имеют две общие точки.
Так как d > r, отсюда следует, что окружность и прямая m не имеют общих точек.
Так как d = r, отсюда следует, что окружность и прямая m имеют одну общую точку.

Радиус окружности равен 6 см. Каким может быть расстояние от центра окружности до прямой a, чтобы прямая a и данная окружность имели одну общую точку?
5 см
3 см
18 см
10 см
6 см
Для того чтобы прямая и окружность имели одну общую точку, нужно, чтобы расстояние от центра окружности до прямой равнялось радиусу. Используя это утверждение, выбери верный ответ – 6 см.

Радиус окружности равен 11 см. Каким может быть расстояние от центра окружности до прямой a, чтобы прямая a и данная окружность имели две общие точки?
Верных ответов: 3
23 см
4 см
5 см
10 см
11 см
Для того чтобы прямая и окружность имели две общие точки, нужно, чтобы расстояние от центра окружности до прямой было меньше радиуса. Используя это утверждение, выбери верные ответы: 4 см, 5 см, 10 см.

Пусть d – расстояние от центра окружности радиуса r до прямой p. Определи, каково будет взаимное расположение прямой p и окружности если
r = 11 см, d = 9 см;
имеют две общие точки
r = 6 см, d = 10 см;
не имеют общих точек
r = 5 см, d = 5 см.
имеют только одну общую

Пусть d – расстояние от центра окружности радиуса r до прямой p. Определи, каково будет взаимное расположение прямой p и окружности если
r = 11 см, d = 9 см;
имеют две общие точки
r = 6 см, d = 10 см;
не имеют общих точек
r = 5 см, d = 5 см.
имеют только одну общую

Дана окружность с центром в точке O. В скольких точках пересекает ее прямая OF, если F является внутренней точкой окружности?
Посмотрите чертеж по условию задачи.
Любая прямая, проходящая через центр окружности, пересечет ее в двух точках.
(OF) ∩ w(O; R) = K, L

Дана окружность с центром в точке O. Прямая a пересекает окружность в точках A и B. Центральный угол AOB равен 90°. Расстояние от центра окружности до прямой a равно 4 см. Найди хорду AB.
Посмотрите чертеж, соответствующий условию задачи.
Рассмотри треугольник ∆AOB:
OA = OB = R ⇒ ∆AOB – равнобедренный.
По свойству равнобедренного треугольника высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Следовательно:
AH = HB и ∠AOH = ∠BOH
Рассмотри треугольник ∆AOH:
∠AHO = 90°, ∠HAO = ∠AOH = 45° ⇒ OH = AH
Так как AH = HB = 4 см ⇒ AB = 8 см.

Прямая AC имеет с окружностью одну общую точку A, а прямая CD проходит через центр окружности и пересекает ее в точках B и D, считая от точки C соответственно. Найди градусную меру угла AOD, если ∠ACD = 63°.
Посмотрите чертеж, соответствующий условию задачи.
Рассмотри ∆AOC и найди градусную меру угла ∠AOC.
OA ⊥ (AC)
∠OAC = 90°
∠ACO = 63°
∠COA = 90° – 63° = 27°
Найди градусную меру угла AOD:
∠AOD = ∠DOB – ∠AOC = 180° – 27° = 153°.

Учебные задания
1. Радиус окружности равен 10 см. Каким может быть расстояние от центра окружности до прямой a, чтобы прямая a и данная окружность не имели общих точек?
2. Через точку C окружности проведена хорда CM и прямая p, имеющая с данной окружностью только одну общую точку. Угол между данной прямой p и хордой CM равен 30°. Растояние от центра окружности до прямой равно 7 см. Найди хорду CM.