Некоторые приемы решения целых уравнений. Простейшие уравнения с параметром

Неизвестные величины принято обозначать последними буквами латинского алфавита (х, у, z,…), параметры – первыми буквами (а, b, c, …).

Примеры возвратных уравнений
а) 7х³-2х²-2х+7=0;
б) 5х³-3х²-3х+5=0;
в) 12х⁴-7х³+2х²-7х+12=0;
г) 2х⁴+8х³-4х²+8х+2=0;
д) 6х⁵-7х⁴+2х³+2х²-7х+6=0.

Выполним группировку первого и последнего, второго и третьего членов уравнения, получим:
(7х³+7)-2х (х+1)=0 ;
7(х+1)(х²-х+1)-2х(х+1)=0; вынесем общий сложный множитель за скобки
(х+1) (7х²-7х+7-2х)=0;
х+1=0 или 7х²-9х+7=0
х=-1 Д<0, квадратное уравнение корней не имеет
Ответ: х=-1.
Пример 1 Решим возвратное уравнение

Пример 2 Решим возвратное уравнение

Неизвестные величины принято обозначать последними буквами латинского алфавита (х, у, z,…), параметры – первыми буквами (а, b, c, …).

Решить уравнение с параметром – значит для каждого значения параметра найти множество всех корней данного уравнения или доказать, что корней нет.

Пример 3. Решить уравнение ax = 1.
Решение.
1. если a ≠ 0:
2. если a = 0:
0 · x = 1 – не имеет решений;

Пример 4. Решить уравнение a2x – 1 = x + a.
Решение.
a2x – 1 = x + a ;
a2x – x = a + 1;
x(a2 – 1) = a + 1;
1. если a2 – 1 ≠ 0, то есть a ≠ ±1:
2. если a = 1, то есть 0 · x = 2:
уравнение не имеет решений;
3. если a = –1, то есть 0 · x = 0:

Решение.
ОДЗ:
х – 4 ≠ 0;
х ≠ 4;
х – 2а = 0;
х = 2а;
х ≠ 4:
2а ≠ 4;
а ≠ 2;
а ≠ 2: x = 2a;
a = 2: уравнение не имеет решений;
Ответ: если а ≠ 2, то уравнение имеет единственное решение x = 2a;
если a = 2, то уравнение не имеет решений.