7c02f98650a125259fe5cdaa2e4a0b9e

ПЛАН ЛЕКЦИИ
1. ПОНЯТИЕ И ВИДЫ МАТРИЦ
2. СТРОКИ, СТОЛБЦЫ, ЭЛЕМЕНТЫ
И РАЗМЕР МАТРИЦ
3. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

ПОНЯТИЕ И ВИДЫ
МАТРИЦ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ
МАТРИЦЕЙ НАЗЫВАЕТСЯ ПРЯМО-УГОЛЬНАЯ ИЛИ КВАДРАТНАЯ ТАБЛИЦА, ЗАПОЛНЕННАЯ ЧИСЛАМИ.
ЧИСЛА, ЗАПОЛНЯЮЩИЕ МАТРИЦУ, НАЗЫВАЮТСЯ ЭЛЕМЕНТАМИ МАТРИЦЫ.

ВИДЫ МАТРИЦ

СТРОКИ, СТОЛБЦЫ, ЭЛЕМЕНТЫ И РАЗМЕР МАТРИЦЫ

ПРИНЦИП НУМЕРАЦИИ
СТРОК И СТОЛБЦОВ
СТРОКИ НУМЕРУЮТСЯ СВЕРХУ
ВНИЗ, НАЧИНАЯ С № 1.
СТОЛБЦЫ НУМЕРУЮТСЯ СЛЕВА
НАПРАВО, НАЧИНАЯ С № 1.

СТРОКА И СТОЛБЕЦ

РАЗМЕР МАТРИЦЫ
МАТРИЦА, ИМЕЮЩАЯ m СТРОК И n
СТОЛБЦОВ, НАЗЫВАЕТСЯ МАТРИЦЕЙ
РАЗМЕРА m НА n.

ОБЩИЙ ВИД МАТРИЦЫ РАЗМЕРА m НА n

ЭЛЕМЕНТ МАТРИЦЫ

ДИАГОНАЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

ТРЕУГОЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ

ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

ЛЮБУЮ МАТРИЦУ МОЖНО УМНОЖИТЬ НА ЧИСЛО

МАТРИЦЫ ОДИНАКОВОГО РАЗМЕРА МОЖНО
СКЛАДЫВАТЬ И ВЫЧИТАТЬ

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ

УМНОЖЕНИЕ
СТРОКИ НА СТОЛБЕЦ
(СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ)

УМНОЖЕНИЕ
МАТРИЦЫ НА СТОЛБЕЦ
КАЖДАЯ СТРОКА МАТРИЦЫ СКАЛЯРНО УМНОЖАЕТСЯ НА СТОЛБЕЦ

ВОЗМОЖНОСТЬ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ
МАТРИЦУ A, ЗАПИСАННУЮ СЛЕВА, МОЖНО УМНОЖИТЬ НА
МАТРИЦУ B, ЗАПИСАННУЮ СПРАВА, ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ A РАВНО ЧИСЛУ СТРОК МАТРИЦЫ B

ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ
МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ
КАЖДАЯ СТРОКА ЛЕВОЙ МАТРИЦЫ СКАЛЯРНО УМНОЖАЕТСЯ НА КАЖДЫЙ СТОЛБЕЦ ПРАВОЙ МАТРИЦЫ

ПРИМЕР УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ

УМНОЖЕНИЕ
СТОЛБЦА НА СТРОКУ

ВАЖНЫЕ ТИПЫ
КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

СВОЙСТВО
ЕДИНИЧНОЙ МАТРИЦЫ:
A•E=E•A=A

§ 1. Матрицы и действия над ними
1. Определение и некоторые виды матриц
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицей размера m×n называется таблица, образованная из элементов некоторого множества (например, чисел или функций) и имеющая m строк и n столбцов.
Если m ≠ n, то матрицу называют прямоугольной.
Если m = n, то матрицу называют квадратной, порядка n.
Элементы, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.
Например, a24 –
a13 –

Две матрицы A и B считаются равными, если они одинакового размера, и элементы, стоящие в A и B на одинаковых местах, равны между собой, т.е. aij = bij.

Некоторые частные случаи матриц

Элементы a11, a22, …, akk (где k = min{m,n}) будем называть элементами главной диагонали матрицы.
Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной:
Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, называется единичной:
Обозначают: E или En.

5) Пусть A = (aij) – квадратная матрица порядка n. Элементы a1n, a2,n-1, a3,n-2, …, an1 будем называть элементами побочной диагонали матрицы.
Квадратные матрицы, у которых все элементы ниже (выше) главной или побочной диагонали равны нулю, называются треугольными :

6) Прямоугольную матрицу размера m × n будем называть трапециевидной, если все ее элементы ниже главной диагонали равны нулю, т.е. если она имеет вид:

2. Линейные операции над матрицами
1) Умножение матрицы на число;
2) Сложение матриц.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением матрицы A=(aij) на число α называется такая матрица B=(bij), элементы которой равны произведениям соответствующих элементов матрицы A на число α, т.е. bij= α·aij.
Обозначают: α·A, αA.
Частный случай: (-1)·A – противоположная матрице A,
Обозначают –A.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой двух матриц A=(aij) и B=(bij) одинакового размера, называется такая матрица C=(cij), элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц A и B, т.е. cij = aij + bij .
Обозначают: A+B
Частный случай: A+(–B) – разность матриц A и B.
Обозначают: A–B

Свойства линейных операции над матрицами

3. Нелинейные операции над матрицами
1) Умножение двух матриц;
2) Транспонирование матрицы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A=(a1i) и B=(bi1) – матрица-строка и матрица-столбец одинаковой длины n. Произведением матрицы-строки A на матрицу-столбец B называется число c, равное сумме произведений их соответствующих элементов, т.е.
c = a11 · b11 + a12 · b21 + a13 · b31 + … + a1n · bn1 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A=(aij) – матрица размера m × n, B=(bij) – матрица размера n × k (т.е. количество столбцов в матрице A совпадает с количеством строк матрицы B). Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C =(cij) размера m × k такая, что каждый ее элемент cij является произведением i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B, т.е.
cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + ai3 · b3j + … + ain · bnj .
Обозначают: A ·B, AB.

Свойства операции умножения матриц

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A – матрица размера m × n. Матрица размера n × m, полученная из A заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к A и обозначается AТ.
Операция нахождения матрицы AТ называется транспонированием матрицы A.
Свойства операции транспонирования матриц
1) (AТ )T = A ;
2) (A + B)T = AT + BT ;
3) (αA)T = αAT ;
4) (A · B)T = BT · AT .

Пример
Ответ
назад

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной относительно данной.
Например:
Свойства
назад

В случае, когда АВ=ВА, матрицы А и В называют перестановочными или коммутативными.
Пример 1. Найти все перестановочные матрицы к матрице
Пример 2. Найти все перестановочные матрицы к матрице
назад

Ответ:
назад

Пример
Ответ
назад

Ответ:
назад

Пример
Ответ
назад

Ответ:
назад