Комбинаторика и вероятность

Вспоминаем понятия комбинаторики и вероятности. Эти понятия знакомы вам из школьного курса математики. Вспомним методы и приемы решения задач по данным темам.
Старайтесь решать задачи самостоятельно, только потом проверяйте. Все решения записывайте в тетрадь.

КОМБИНАТОРИКА – область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
Понятия

КОМБИНАТОРНАЯ ЗАДАЧА – задача, требующая осуществления перебора всех возможных вариантов или подсчета их числа.
Понятия

Задача 1
У кассы кинотеатра стоят четверо ребят. У двух из них сторублевые купюры, у других двух – пятидесятирублевые. Билет в кино стоит 50 рублей. В начале продажи касса пуста.
Вопрос: как должны расположиться ребята, чтобы никому не пришлось ждать сдачи?

Задача 1
Вариант 1:
Вариант 2:

Задача 2
В парке 4 пруда. Было решено засыпать песком дорожки между ними так, чтобы можно было пройти от одного пруда к другому кратчайшим путем, т.е. не нужно было идти в обход.
Задание: покажи, какие дорожки надо сделать.

Задача 2

Задача 3
4 парусника готовились к соревнованиям. У каждого был свой корабль. Судьи решили, что надо раскрасить паруса, чтобы парусники были видны издалека и было ясно, кто из спортсменов идет впереди, кто запаздывает.
Задание: покажи, как по-разному раскрасить паруса, если есть всего две краски.

Задача 3

Задача 4
На каждом флажке должны быть полоски разного цвета: синяя, красная, черная. Раскрась флажки так, чтобы они отличались друг от друга. Сколько разных флажков ты раскрасил? Можете ли вы указать способ позволяющий назвать число флажков, не производя непосредственного их подсчёта?

Задача 4
6 флажков, т.е. 3 полоски умножаем на 2. в каждой паре меняем местами два цвета.

У Миши 6 яблок. Из них 4 красных и 2 зеленых. Миша съел 3 яблока. Какого цвета могли быть яблоки? Сколько вариантов у тебя получилось?
Задача 5

Задача 5

Задача 6
Перечислите все двузначные числа, в записи которых встречаются цифры 0, 1, 2.

Задача 6

Задача 7
В танцевальном кружке занимаются пять девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша и
пять мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей и Иван. Сколько различных танцевальных пар можно составить? Заполни таблицу и проверь свой ответ.

Задача 7
25 пар. Как получили? 5 умножить на 5
Женя
Маша
Катя
Юля
Даша
Олег
Вова
Стас
Андрей
Иван
Олег
Олег
Олег
Олег
Олег
Вова
Вова
Вова
Вова
Вова
Стас
Стас
Стас
Стас
Стас
Андрей
Андрей
Андрей
Андрей
Андрей
Иван
Иван
Иван
Иван
Иван
Женя
Женя
Женя
Женя
Женя
Маша
Маша
Маша
Маша
Маша
Катя
Катя
Катя
Катя
Катя
Юля
Юля
Юля
Юля
Юля
Даша
Даша
Даша
Даша
Даша

Задача 8
Миша решил в воскресенье навестить дедушку, своего друга Петю и старшего брата Володю. В каком порядке он может организовать визиты? Сколько вариантов получилось?

Задача 8
6 вариантов

Задача 9
Составь таблицу, соответствующую условию задачи. Сколько завтраков у тебя получилось?

Задача 9
Задание 1
6 завтраков

Это были простые задачи, переходим к различным комбинациям

Перестановки
Перестановками из n элементов называют соединения, которые состоят из одних и тех же n элементов и отличаются одно от другого только порядком их расположения

Посмотрите видео «Комбинаторика. Перестановки» по ссылке:
https://www.youtube.com/watch?v=ABMJtIZRsxk

Задача10
В соревнованиях участвовало 4 команды.
Сколько вариантов
распределения мест между ними возможно?

Р4 = 4! = 1· 2· 3· 4 = 24
Ответ: 24.

Задача 11
Сколькими способами
можно разместить 12 человек
за столом,
возле которого поставлены 12 стульев?

Р12 = 12! = 479001600
Ответ: 479001600.

Размещения
Размещениями из n элементов называется такие соединения, каждое из которых содержит k элементов, взятых из данных n разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения
Akn = n!/(n – k)!

Посмотрите видео урока № 62 «Комбинаторика. Размещение» по ссылке:
https://www.youtube.com/watch?v=xCBW1pbRCc8

Задача 12
Сколько двузначных чисел можно составить из пяти цифр 1,2,3,4,5 при условии, что ни одна
из них не повторяется?

Решение:
Т.к. двузначные числа отличаются друг от друга
или самими цифрами, или их порядком,
то искомое количество равно
числу размещений из пяти элементов по два:
А²5 = 5· 4 = 20
Ответ: 20.

Задача 13
У нас есть 9 книг
из серии
«Занимательная математика».
Сколькими способами можно подарить 3 из них?

Решение:
3
А9 = 9! = 504
(9-3)!
Ответ: 504.

Задача 14
Сколько вариантов расписания
можно составить на один день,
если всего имеется
8 учебных предметов,
а в расписании на день
могут быть включены
только три из них?
8

А³8 = 8 ·7· 6 = 336
Ответ: 336.

Сочетания
Сочетаниями из n элементов по k в каждом называются соединения, каждое из которых содержит k элементов, взятых из данных n разных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.
Cnk =Ank/k!=n!/(k!(n-k)!).

Посмотрите видео урок № 63
« Комбинаторика. Сочетания» по ссылке:
https://www.youtube.com/watch?v=ZSe1YQXCsj4

Задача 15
В тренировках участвовали
12 баскетболистов.
Сколько различных стартовых пятерок
может образовать тренер?

5
С12 = 12! = 7!·8·9·10·11·12 = 792
(12-5)!·5! 7!·1·2·3·4·5
Ответ: 792.

Задача 16
Сколькими способами читатель
может выбрать
2 книжки из 6 имеющихся?

2
С6 = 6! = 5·6 = 15
4!2! 2
Ответ:15.

Теперь все обобщаем. В комбинаторике есть два правила и три формулы.

Что увидели? При перестановки участвует только одно число
И его переставляют
А вот определения размещений и сочетаний практические одинаковые, но отличаются тем, что для размещения важен порядок элементов, а для сочетания не важен.
Посмотрите схему, перенесите ее в тетрадь

Вероятность
Вероятностью события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов m, благоприятствующих событию А, к числу n всех исходов испытания.

Методы решения

Задача1
Папа, мама, сын и дочка бросили жребий – кому мыть посуду. Найдите вероятность того, что посуду будет мыть мама.
Решение
n = 4 – число всех элементарных исходов;
m = 1 – число благоприятных исходов
(жребий выпал на маму).

Задача 2
Бросают игральную кость.
Найти вероятность того, что: а) выпадет четное число очков (А);
б) выпадет число очков, кратное 3 (В);
в) выпадет любое число очков, кроме 5 (С).

Решение.
а) На гранях игральной кости имеется три четные цифры (2,4,6), т.е. число искомых исходов m = 3. Число всех возможных исходов n = 6
(выпадает любое число очков от 1 до 6).
Значит, Р(А) = 3 = 1
6 2
б) Имеются две цифры, кратные трем (3,6), m = 2, n = 6.
Р(В) = 2 = 1
6 3
в) Искомыми исходами являются цифры 1,2,3,4,6 - всего их пять
m = 5, n = 6.
Р(С) = 5
6
Ответ: Р(А) = 1 ; Р(В) = 1 ; Р(С) = 5 .
2 3 6

Задача 3
Изготовили 100 деталей,
из которых 97 стандартных
и 3 бракованных.
Какова вероятность выбора стандартной детали и выбора бракованной детали?

Решение.
Если взять 1 деталь, то событие А – деталь стандартная и событие В – деталь бракованная, не равновозможные.
Событие А более возможно, более вероятно,
чем событие В.
Р(А) = 97 , Р(В) = 3
100 100
Ответ: 0,97 ; 0,03.

И так прочитайте еще раз определения перестановки, размещения и сочетания

Правило сложения элементарное, задач на него не будет.
Произведение применяется тогда, когда есть два разных объекта (мальчики – девочки, булочки – чай т.д)
И так приступаем к конкретным задачам

Задача 1
Сколькими способами можно рассадить четверых детей на четырех стульях в столовой детского сада?
4 стула и 4 ребенка, Число одно, значит перестановка
Р4 = 4! = 1*2*3*4 =24

Задача 2
Наряд студентки состоит из блузки, юбки и туфель. Девушка имеет в своем гардеробе четыре блузки, пять юбок и трое туфель. Сколько нарядов может иметь студентка?
Разные вещи, 4,5,3, значит умножение
4*5*3 = 60 нарядов

Задача 3
В группе, в которой 25 студентов, нужно выбрать старосту, его заместителя и помощника заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
Из 25 выбираем 3. но у них у каждого свои обязанности, т.е. порядок важен. Значит это размещение
и считаем

Задача 4
В группе из 25 студентов нужно выбрать не старосту, его заместителя и помощника его заместителя, а тройку начальников, которые, обладая равными правами, будут судить, не выясняя, кто из троих главный, кто менее главный, а кто так себе.
Опять из 25 выбираем 5, но порядок не важен, у них
одинаковы права, значит это сочетание
и считаем

По вероятности вы разобрали два метода решения задач
1 метод – применение классической формулы
2 метод перебор возможных вариантов (игральная кость, монеты)