Комплексные числа и действия над ними

Основные понятия
Комплексным числом z называется выражение вида z=a+bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:
При этом число a называется действительной частью числа z
(a = Re z), а b - мнимой частью (b = Im z).
Если a=Re z=0, то число z будет чисто мнимым,
если b=Im z=0, то число z будет действительным.
Два комплексных числа z1=a1+b1i и z2=a2+b2i называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:
a1=a2; b1=b2
Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части
a=b=0.
Также комплексные числа можно записывать, например, в виде z=x+yi, z=u+vi.

Запись числа в виде z=x+yi называют алгебраической формой комплексного числа.
содержание
Числа z=a+bi и называются взаимно сопряженными.
Числа z=a+bi и называются противоположными
Множество комплексных чисел обозначается буквой С

Действия над комплексными числами
1) Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме
а) Сложение комплексных чисел
Суммой двух комплексных чисел z1=x1+y1i и z2=x2+y2i называется комплексное число, определяемое равенством
z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2).
Свойства операции сложения:
1. z1+z2= z2+z1,
2. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3),
3. z+0=z.
б) Вычитание комплексных чисел
Вычитание определяется как действие, обратное сложению.
Разностью двух комплексных чисел z1=x1+y1i и z2=x2+y2i называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число z1 и определяется равенством
z=z1 – z2=(x1 – x2)+i(y1 – y2).
содержание

в) Умножение комплексных чисел
Произведением комплексных чисел z1=x1+y1i и z2=x2+y2i называется комплексное число, определяемое равенством
z=z1 z2=(x1 x2 –y1 y2 )+i(x1 y2 +x2 y1 ).
Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение
i2= – 1.
Свойства операции умножения:
1. z1z2= z2z1,
2. (z1z2)z3=z1(z2z3),
3. z1(z2+z3 ) =z1z2+z1z3,
4. z∙1=z.
содержание

г) Деление комплексных чисел
Деление определяется как действие, обратное умножению.
Частным двух комплексных чисел z1 и z2≠0 называется комплексное число z, которое будучи умноженным на z2, дает число z1, т.е. если z2 z = z1.
Если положить z1=x1+y1i, z2=x2+y2i≠0, z=x+yi, то из равенства (x+yi)(x2+iy2)= x1+y1i, следует
Решая систему, найдем значения x и y:
Таким образом,

д) Возведение комплексного числа, заданного в алгебраической форме в n-ю степень
Выпишем целые степени мнимой единицы:
и т.д.
В общем виде полученный результат можно записать так:
Пример 2. Вычислить i2092 .
Решение.
Представим показатель степени в виде n=4k+l и воспользуемся свойством степени с рациональным показателем z4k+1=(z4)k ∙ zl .
Имеем: 2092=4∙523 .
Таким образом, i2092 = i4∙523 =(i4)523, но так как i4=1, то окончательно получим i2092 =1.
Ответ: i2092 =1.
содержание