mnozhestva_i_operatsii_nad_nimi (2)

Понятие множества и операции над ними
Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие.
Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, …, Z.
Множество, не содержащее ни одного объекта, называется пустым и обозначается так: Ø
Объекты, из которых образованно множество, называются элементами.
Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z.
Множества бывают конечными (множество дней в неделе, месяцев в году) и бесконечными (множество натуральных чисел, точек на прямой)

Стандартные обозначения числовых множеств
N – множество всех натуральных чисел
Z – множество всех целых чисел
Q – множество всех рациональных чисел
J – множество всех иррациональных чисел
R – множество всех действительных чисел

Способы задания множеств
1. Способом перечисления всех его элементов.
Например, если множество А состоит из чисел 1,3,5,7 и 9, то мы зададим это множество, т.к. все его элементы оказались перечисленными. При этом используется следующая запись: {1,3,5,7,9}
Такая форма задания множеств применяется в том случае, когда оно имеет небольшое количество элементов.

2. Через характеристическое свойство его элементов
Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.
Например, множество А={1,3,5,7,9} можно задать через характеристическое свойство – множество однозначных, нечетных натуральных чисел.
Так множества обычно задают в том случае, когда множество содержит большое количество элементов или множество бесконечно.

Символическая форма задания множеств
А – это множество всех натуральных чисел, больших 3 и меньших 10 можно записать таким образом:
А = { х|х Є N , 3 < x < 10}
А
это
множество
всех
натуральных
чисел
больших
меньших

Отношения между множествами
I. Рассмотрим 2 множества: А={a, b, c, d, e}
B={b, d, k, m}
Эти множества имеют общие элементы. В этом случае говорят, что множества пересекаются.
Множества А и В называются пересекающимися, если они имеют общие элементы.
Отношения между множествами наглядно представляют с помощью особых чертежей, называемых кругами Эллера.
А
В
a c
e
k m
b d

II. Рассмотрим 2 множества: А={a, b, c, d, e}
B={k, m, n, f}
Множества не имеют общих элементов. В этом случае говорят, что множества не пересекаются.
Множества А и В называются непересекающимися, если они не имеют общих элементов
А
В
a b c
d e
k m
n
f

III. Рассмотрим 2 множества: А={a, b, c, d, e}
В={b, c, d}
Эти множества называются пересекающимися, и, кроме того, каждый элемент множества В являются элементом множества А.
В этом случае говорят, что множество В является подмножеством множества А и пишут: В ⊂ А
Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А.
Пустое множество является подмножеством любого множества. Ø ⊂ А
Любое множество является подмножеством самого себя. А ⊂ А
b c dИ
А
В
a e

IV. Рассмотрим 2 множества: А={a, b, c, d, e}
В={c, d, a, b, e}
Эти множества пересекаются, причем каждый элемент множества А является элементом множества В (А ⊂ В), и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А (В ⊂ А).
В этом случае говорят, что множества равны и пишут: А = В.
Множества А и В называются равными, если А ⊂ В и В ⊂ А
А
В
a b
c
d e

Операции над множествами
I. Пересечение множеств
Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.
А={2,4,6,8}
В={5,6,7,8,9}
С=А∩В
С={6,8}
2
4
6
8 7 5
9
А
В

II. Объединение множеств
Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.
А={2,4,6,8}
В={5,6,7,8,9}
С=А∪В
С={2,4,5,6,7,8,9}
2
4 6 8
5
7
9
А
В

III. Вычитание множеств
Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.
А\В={х|х Є А и х ∉ В}
Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее те и только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.
a
d
А
В
b
c

Декартово произведение множеств
Упорядоченную пару, образованную из элементов множеств А и В принято записывать, используя круглые скобки (a, b).
Элемент а называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент b – второй координатой (компонентой) пары.
Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.
А х В = { (х; у) | х Є А, у Є В }

Пример 1
А={1,3,5}
В={2,4}
А·В={(1;2), (1;4), (3;2), (3;4), (5;2), (5;4)}

Пример 2
А={1,3,5}
В=[2,4] или В={у|у Є R, 2≤у≤4}

Пример 3
А=[1;5]
В={2,4}

Пример 4
А=[1;5]
В=[2,4]