Комплексные числа и действия над ними

МНИМАЯ ЕДИНИЦА

Мнимые числа
i = -1, i – мнимая единица
i, 2i, -0,3i — чисто мнимые числа
Арифметические операции над чисто мнимыми числами
где a и b — действительные числа.
В общем виде правила арифметических операций с чисто мнимыми числами таковы:

Комплéксные числа
форма записи:
алгебраическая, тригонометрическая
экспоненциальная (показательная)
Числа вида a + bi,
где a и b – действительные числа,
i – мнимая единица,

Комплексные числа
Определение 1. Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа.
Определение 2. Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части:

Решение.
Используя условие равенства
комплексных чисел имеем
2y = 13, 4x = – 6, тогда
Найти x и y из равенства:
2y + 4xi = 13 – 6i;

Классификация комплексных чисел
Комплексные числа
a + bi
Действительные числа
b = o
Мнимые числа
b ≠ o
Рациональные
числа
Иррациональные
числа
Мнимые числа с
ненулевой
действительной
частью
a ≠ 0, b ≠ 0.
Чисто
мнимые
числа
a = 0, b ≠ 0.

Арифметические операции над комплексными числами
(а + bi) + (c + di) = (а + с) + (b + d)i
(а + bi) - (c + di) = (а - с) + (b - d)i
(а + bi)·(с + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Сопряженные комплексные числа
Определение: Если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять знак у мнимой части, то получится комплексное число, сопряженное данному.
:
.
Числа a + bi и a - bi называются взаимно сопряженными комплексными числами.

z1 = 12 + 3i, z2 = 5 – 7i.
Найти: а) z1 + z2; б) z1 – z2;
а) z1 + z2 =(12 + 3i) + (5 – 7i) =
=(12 + 5) + (3i – 7i) = 17 – 4i;
б) z1 – z2 =(12 + 3i) – (5 – 7i) =
=(12 – 5) + (3i + 7i) = – 7 + 10i;

(5 + 3i)(5 – 3i)
(2 + 3i)(5 – 7i)
(2 – 7i)2
=
=
=
=
(10+21) + (-14+15)i
=
31+i
25-9i2
=
34
4 - 28i + 49i2
=
-45-28i

=
=
=

=
=
=
2

Модуль комплексного числа
Определение:
Модулем комплексного числа z = a + bi называют неотрицательное число

Геометрическое изображение комплексных чисел.
Комплексному числу z на координатной плоскости соответствует точка М(a, b).
Часто вместо точек на плоскости берут их радиусы-векторы
равное расстоянию от точки М до начала координат
b
a
М (a, b)
y
x
O
φ

Тригонометрическая форма комплексного числа
где φ – аргумент комплексного числа,
r = модуль комплексного числа,