Комплексные числа ( тригонометрическая и показательная форма записи)

Геометрическое изображение комплексных чисел
Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой M(x;y) плоскости xOy такой, что х = Re z, у = Im z. И, наоборот, каждую точку M(x;y) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=x+iy (рисунок 1).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
Рисунок 1
Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа z=x+0i=x .
Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат мнимые комплексные числа z=0+yi=yi.
содержание

Часто вместо точек на плоскости берут их радиус-векторы
т.е. векторы, началом которых служит точка O(0;0), концом M(x;y) .
Длина вектора изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается | z| или r.
Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z или φ.
Аргумент комплексного числа z=0 не определен.
Аргумент комплексного числа z≠0 - величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πk (k=0,-1,1,-2,2,..) :
Arg z=arg z+2 πk,
где arg z - главное значение аргумента, заключенное в промежутке (- π, π].
содержание

Формы записи комплексных чисел
Запись числа в виде z=x+iy называют алгебраической формой комплексного числа.
Из рисунка 1 видно, что x=rcosφ, y=rsinφ, следовательно, комплексное z=x+iy число можно записать в виде:
Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Модуль r=|z| однозначно определяется по формуле
Аргумент φ определяется из формул
содержание

При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать φ=arg z.
Так как то из формулы получаем, что
- для внутренних точек I, IV четвертей;
- для внутренних точек II четверти;
- для внутренних точек III четверти.
Пример 1. Представить комплексные числа и в тригонометрической форме.
содержание

Решение. Комплексное число z=x+iy в тригонометрической форме имеет вид z=r(cosφ +isinφ), где
1) z1=1+i (число z1 принадлежит I четверти), x=1, y=1.
Таким образом,
2) (число z2 принадлежит II четверти)
Так как то
Следовательно,
Ответ:
содержание

Рассмотрим показательную функцию w=ez, где z=x+iy - комплексное число.
Можно показать, что функция w может быть записана в виде:
Данное равенство называется уравнением Эйлера.
Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:
1)
2)
3)
где m – целое число.
Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:
Для комплексно – сопряженного числа получаем:
содержание

Из этих двух уравнений получаем:
Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.
Если представить комплексное число в тригонометрической форме
z=r(cosφ +isinφ)
и воспользоваться формулой Эйлера eiφ=cosφ+isinφ, то комплексное число можно записать в виде
z=r eiφ
Полученное равенство называется показательной формой комплексного числа.
содержание

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме
Рассмотрим два комплексных числа z1 и z2 , заданных в тригонометрической форме
а) Произведение комплексных чисел
Выполняя умножение чисел z1 и z2 , получаем
содержание

б) Частное двух комплексных чисел
Пусть заданы комплексные числа z1 и z2 ≠ 0.
Рассмотрим частное имеем
содержание

Пример 5. Даны два комплексных числа
Найдите
Решение.
1) Используя формулу . получаем
Следовательно,
2) Используя формулу . получаем
Следовательно,
Ответ:
содержание

в) Возведение комплексного числа, заданного в тригонометрической форме в n-ю степень
Из операции умножения комплексных чисел следует, что
В общем случае получим:
(2)
где n– целое положительное число.
Следовательно, при возведении комплексного числа в степень модуль возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Выражение (2) называется формулой Муавра.
содержание

Пример 6. Найти формулы sin2ϕ и cos2ϕ.
Решение.
Рассмотрим некоторое комплексное число
Тогда с одной стороны
По формуле Муавра:
Приравнивая, получим
Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то
Получили известные формулы двойного угла.
содержание

Извлечение корня п-ой степени из комплексного числа
Корнем п-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число w, удовлетворяющее равенству wn=z, т.е. если wn=z.
Если положить а то, по определению корня и формуле Муавра, получаем
Отсюда имеем
То есть
Поэтому равенство принимает вид
где (т.е. от 0 до n-1).
содержание

Таким образом, извлечение корня n-ой степени из комплексного числа z всегда возможно и дает n различных значений. Все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
Пример 7. Найти все значения
Решение.
Вначале представим число в тригонометрической форме.
В данном случае x=1, , таким образом,
Следовательно,
Используя формулу
где k=0,1,2,…,(n-1), имеем:
содержание