Квадрат. Основные свойства квадрата

Квадрат - это четырехугольник, у которого все четыре стороны и углы одинаковы. Квадраты отличаются между собой только длиной стороны, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90°.
Квадратом также могут быть параллелограмм, ромб или прямоугольник если они имеют одинаковые длины диагоналей, сторон и одинаковые углы.

Основные свойства квадрата

1. Все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то есть они равны:
AB = BC = CD = AD

2. Противоположные стороны квадрата параллельны:
AB||CD, BC||AD

3. Все четыре угла квадрата прямые:
∠ABC = ∠BCD =
∠CDA = ∠DAB =
90°

4. Сумма углов квадрата равна 360 градусов:
∠ABC + ∠BCD +
∠CDA + ∠DAB =
360°

5. Диагонали квадрата имеют одинаковой длины:
AC = BD

6. Каждая диагональ квадрата делит квадрат на две одинаковые симметричные фигуры

7. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, и разделяют друг друга пополам:
7. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, и разделяют друг друга пополам:
7. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, и разделяют друг друга пополам:
AC┴BD AO = BO = CO = DO = d/2

8. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и
описанной
окружности

9. Каждая диагональ делит угол квадрата пополам, то есть они являются биссектрисами углов квадрата:
ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA
= ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC =
∠DBA = 45°

10. Обе диагонали разделяют квадрат на четыре равные треугольника, причем эти треугольники одновременно и
равнобедренные и
прямоугольные:
ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD
= ΔDOA

Диагональ квадрата
Диагональю квадрата называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов квадрата.
Диагональ любого квадрата всегда больше его стороны в√2 раз.
Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:
d = a·√2

Формула диагонали квадрата через площадь квадрата:
d = √2S
Формула диагонали квадрата через периметр квадрата:
Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности:
d = 2R

Периметр квадрата
Периметром квадрата называется сумма длин всех сторон квадрата.

Формула периметра квадрата через сторону квадрата
P = 4a
Формула периметра квадрата через площадь квадрата:
P = 4√S
Формула периметра квадрата через диагональ квадрата:
P = 2d√2
Формула периметра квадрата через радиус описанной окружности:
P = 4R√2
Формула периметра квадрата через радиус вписанной окружности:
P = 8r

Площадь квадрата
Площадью квадрата называется пространство, ограниченное сторонами квадрата, то есть в пределах периметра квадрата.
Площадь квадрата больше площади любого четырехугольника с таким же периметром.

Формула площади квадрата через сторону квадрата:
S = a2
Формула площади квадрата через периметр квадрата:
Формула площади квадрата через диагональ квадрата:
Формула площади квадрата через радиус описанной окружности:
S = 2R2
Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности:
S = 4r2

Окружность описанная вокруг квадрата
Кругом описанным вокруг квадрата называется круг проходящий через четыре вершины квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата.
Радиус окружности описанной вокруг квадрата всегда больше радиуса вписанной окружности в√2 раз.
Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен половине диагонали.
Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.