Построение графиков функций при помощи геометрических преобразований

Направления преобразований графиков
Преобразования вдоль оси ординат
Преобразования вдоль оси абсцисс
x
y
x
y

y=f(x)
Преобразования графика функции f(x)
+b
параллельный перенос на |b| единиц:
- вверх, если b>0
- вниз, если b<0
x
y
y=f(x)+5
y=f(x)
y=f(x)-5
-5
5
Преобразования вдоль оси ординат

преобразования вдоль оси ординат
y= f(x)
преобразования графика функции f(x)
k
растяжение вдоль oси у k раз, если k>1
x
y
y=2f(x)
y=f(x)
4
8

преобразования вдоль оси ординат
y= f(x)
преобразования графика функции f(x)
k
x
y
y=f(x)
y=1/2 f(x)
2
4
сжатие вдоль oси у в k раз, если 0

преобразования вдоль оси ординат
y= f(x)
преобразования графика функции f(x)
k
- симметричное отображение относительно оси абсцисс, если k=-1
x
y
y=f(x)
-4
4
y= -f(x)

преобразования вдоль оси ординат
y= f(x)
преобразования графика функции f(x)
| |
1) сохранение частей, которые лежат над осью х
x
y
y=|f(x)|
y=f(x)
2) симетричное отображение частей, которые лежат ниже оси oX

преобразования вдоль оси абсцис
y=f(x )
преобразования графика функции f(x)
+a
паралельный перенос на |a| единиц:
- влево , если a>0
- вправо , если a<0
x
y
y=f(x+3)
y=f(x)
y=f(x-3)

преобразования вдоль оси абсцис
y=f( x)
преобразования графика функции f(x)
k
- сжатие вдоль oX в k раз, если k>1
x
y
y=f(2x)
y=f(x)

преобразования вдоль оси абсцис
y=f( x)
преобразования графика функции f(x)
k
- растяжение вдоль oси х в k раз, если 0
x
y
y=f(1/2 x)
y=f(x)

преобразования графика функции f(x)
- симметричное отображение относительно оси ординат, если k=-1
x
y
y=f(x)
y= f(-x)
y=f( x)
k
преобразования вдоль оси абсцис

y=f ( x )
преобразования графика функции f(x)
| |
1) отбрасывание части, которая лежит левее oси у
x
y
y=f(|x|)
y=f(x)
2) сохранение и симметричное отображение части, которая лежит правее oси у
преобразования вдоль оси абсцис

Примеры построения графиков функций при помощи геометрических преобразований

Пример 1
При помощи геометрических преобразований графика функции y=x2 постройте график функции
y=-2(x-3)2+7
1 шаг
параллельный перенос на 3 единицы вправо
2 шаг
симметричное отображение относительно oX
3 шаг
растяжение в 2 раза вдоль oY
4 шаг
параллельный перенос на 7 единиц вверх
-
2
+7
-3

Пример 1 Построение графика
y=x2
1 шаг:y=(x-3)2
2 шаг:y=-(x-3)2
3 шаг:y=-2(x-3)2
4 шаг:y=-2(x-3)2+7
параллельный перенос вправо на 3 единицы
симметричное отображение относительно oX
растяжение в 2 раза вдоль oY
параллельный перенос вверх на 7 единиц
x
y
y=-2(x-3)2+7
y=-2(x-3)2+7

Пример 2
При помощи геометрических преобразований графика функции y=x2 постройте график функции
y=|x2-6x+4|
Выделим полний квадрат из квадратного трехчлена:
|x2-6x+4|= |(x2-2.x.3+32)-32+4|=|(x-3)2-5|
Следовательно необходимо построить график функции
y=|(x-3)2-5|

Пример 2 Построение графика
y=x2
1 шаг:y=(x-3)2
2 шаг:y=(x-3)2-5
3 шаг:y=|(x-3)2-5|
параллельный перенос вправо на 3 единицы
параллельный перенос вниз на 5 единиц
сохранение частей, которые лежат над осью oX ;
симметричное отображение частей, которые лежат ниже оси oX
x
y
y=|(x-3)2-5|
y=|(x-3)2-5|

Пример 3
При помощи геометрических преобразований графика функции y=√x постройте график функции
1 шаг
параллельный перенос на 1 единицу влево
2 шаг
растяжение в 3 раза вдоль oY
3 шаг
параллельный перенос на 4 единицы вниз
4 шаг
отбрасывание части, которая лежит левее oY
сохранение и симметричное отображение части, которая лежит правее oY.

Пример 3 Построение графика
1 шаг:
2 шаг:
3 шаг:
4 шаг:
параллельный перенос влево на 1 единицу
растяжение в 3 раза вдоль oY
параллельный перенос вниз на 4 единицы
отбрасывание части, которая лежит левее oY
сохранение и симметричное отображение части, которая лежит правее oY
x
y

Отдельные случаи построения графиков при помощи геометрических преобразований
+

Сложение графиков
Постройте график функции y=|x+1|+|x-1|
1 шаг: построим график функции y=|x+1|
2 шаг: построим график функции y=|x-1|
3 шаг: y=|x+1|+|x-1|
Ординату искомого графика получаем сложением ординат двух построенных графиков в той самой точке
x
y
y =|x+1|+|x-1|

Деление графиков
Постройте схематически график функции y=1/f(x), если известен график функции y=f(x)
1 шаг: Предположим, график функции y=f(x) имеет такой вид
2 шаг: Построим вертикальные асимптоты для графика y=1/f(x). Они будут проходить через точки пересечения графика y=f(x) и оси oX.
3 шаг: Точки графика y=f(x) с ординатами y=1 и y=-1 будут общими для обоих графиков.
y =1/f(x)
4 шаг: Для точек графика y=f(x) с положительными ординатами соответствующие точки графика y=1/f(x) будут иметь также положительные ординаты, а для отрицательных – отрицательные. Чим больше по модулю ордината точки графика y=f(x), тем в большей мере график y=1/f(x) приближается к оси oX и наоборот.
x
y

Сравнение методов сложения и деления графиков
построим методом сложения и методом деления график функции
и сравним результаты
Выполним преобразования выражения
для сложения графиков
для деления графиков
y = y1 + y2
y = 1/ y3

Сложение графиков
построим график функции
1 шаг: построим график функции y=x
2 шаг: построим график функции y=1/x
3 шаг:
Ординату искомого графика получим сложением ординат построенных графиков в той самой точке
x
y
Построенный график имеет две асимптоты:
- вертикальную x=0; - наклонную y=x.

Деление графиков
построим график функции
1 шаг: Предположим, нам известен график функции
2 шаг: построим вертикальную асимптоту для графика y=1/y3. Она будет проходить через точку пересечения графика y3=f(x) с осью oX.
3 шаг: график y3=f(x) не имеет точек с ординатами y=1 и y=-1 . Следовательно, общие точки графиков функций y3=f(x) и y=1/y3 отсутствуют.
4 шаг: Для точек графика y3=f(x) с положительными ординатами соответствующие точки графика y=1/y3 будут иметь также положительные ординаты, а для отрицательных – отрицательные. Чем больше по модулю ордината точки графика y3=f(x), тем больше график y=1/y3 приближается к оси oX и наоборот
x
y
y
-1/2
-2
1/2
2

Сложение графиков
Сравнение результатов
Деление графиков
1)Графики идентичны, но график, который построен сложением, точно определяет еще и наклонную асимптоту. 2)Суммировать ординаты легче, чем оценивать пропорции их изменения.
Вывод: Для построения графика выбираем тот способ, который обеспечивает более информативный результат и является более удобным в применении.

Успехов в изучении математики!