Л 9 Бесконечно большие функции и замечательные пределы

1. Бесконечно большие функции, их связь с бесконечно малыми функциями.
Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно большой в точке x0, если для любого N существует такое число δ>0, что для любого х, удовлетворяющего условию |x–x0|<δ следует |f(x)|>N.

Лекция № 9
Графики бесконечно больших функций

Теорема 1.
Если f(x) – бесконечно большая величина, то – бесконечно малая величина; если f(x) – бесконечно малая величина и f(x)≠0, то – бесконечно большая величина.

Пример 1.
f(x)=x2 – бесконечно малая величина при х→0;
– бесконечно большая величина при х→0.

Свойства бесконечно больших функций
Свойство 1. Сумма конечного числа бесконечно больших функций при х→х0 тоже бесконечно большая функция при х→х0.

Свойство 2.
Произведение конечного числа бесконечно больших функций при х→х0 тоже бесконечно большая функция при х→х0.

Свойство 3.
Произведение бесконечно большой функции при х→х0 на функцию, имеющую предел, отличный от нуля, а следовательно, и произведения бесконечно большой функции на постоянную, не равную нулю, являются бесконечно большой функцией при х→х0.

2. Замечательные пределы
Первый замечательный предел

Геометрическая интерпретация
∠АОВ = х

Доказательство замечательного предела
sinx < x < tgx
при 0 < x < , sinx >0

Следствия из первого замечательного предела

Второй замечательный предел

Следствия из второго замечательного предела

При α(х)→0 справедливы следующие соотношения эквивалентности
3. Сравнение бесконечно малых функций.
Эквивалентные бесконечно малые функции.

Эквивалентные б.м. величины

Предел называют
неопределенностью типа
4. Раскрытие неопределенностей

Предел называют
неопределенностью типа

Предел называют
неопределенностью типа 0 ⋅ ∞.

Предел называют
неопределенностью типа ∞–∞.

5. Показательно-степенные неопределенности
Показательно-степенные неопределенности 00, ∞0, 1∞ сводятся к неопределенности ∞⋅0 следующим образом: .