Л11 Производная функции

1. Производная функции одной переменной, геометрический и механический смысл.
Механический смысл производной
Пусть вдоль некоторой прямой точка М движется по закону s=s(t), где s – пройденный путь, t – время. Необходимо найти скорость точки в момент времени t0.

Поэтому под скоростью точки в момент времени t0 следует понимать предел средней скорости за промежуток времени от t0 до t0+Δt, когда Δt → 0
Механический смысл производной состоит в том, что производная от пути равна скорости. Так же можно доказать, что производная от скорости равна ускорению

Геометрический смысл производной. Задача о касательной
Найти уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке M0(x0, f(x0)).

Определение 1.
Предельное положение M0T секущей M0M при M→M0 (если оно существует) назовём касательной к кривой y=f(x) в точке M0(x0,f(x0)). Угловой коэффициент равен:
Уравнение касательной имеет вид
k
k

Производная функции
Определение 2. Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента
когда Δх→0 (если этот предел существует и конечен) и обозначается: .

2. Дифференцируемость и непрерывность. Правила дифференцирования.
Функция, имеющая производную (конечную) в каждой точке некоторого интервала, называется дифференцируемой в этом интервале, операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Пример 1. Найти производные функций: y = C
;
;
;
= С – С = 0;
– производная от постоянной величины равна нулю.
Имеем и
(–∞;∞)=X

Теорема 1.
Если функция f(x) имеет конечную производную в точке x0, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство: По условию теоремы функция y=f(x) дифференцируема в точке x0:
функцию, стоящую под знаком предела, можно представить как сумму этого предела и бесконечно малой величины:

где α(Δx) – бесконечно малая величина при
Отсюда:
При
и
Следовательно, по определению непрерывности функции, функция y=f(x) непрерывна в точке x0.

Обратная теорема, в общем случае, неверна.
Например, функция
непрерывна в точке x=0:
Проверим, будет ли эта функция дифференцируема в данной точке.

Теорема 2.
Если U(x) и V(x) имеют конечные производные в точке х0, то
(V(x0)≠0) имеют конечные производные в точке х0 и справедливы равенства:

Пример. Найти производную функции
y = sin x.
Докажем, что
Доказательство:
Так как , то
(–∞;∞)=X.

3. Производная сложной и обратной функций.
Теорема 3. Если функция z=φ(x) имеет производную в точке x0, а функция y =f(z) имеет производную в точке z0=φ(x0), то сложная функция имеет производную в точке x0 и справедливо равенство

Пример. Найти производную функции
y = sin kx.
Доказательство:
По теореме о производной сложной функции
имеем

Производная обратной функции
Теорема 4. Если строго монотонная функция y=f(x) имеет для некоторого значения х∈(a;b) производную, отличную от нуля, то обратная функция x=φ(y) имеет в соответствующей точке y=y0 производную и

Таблица производных

Таблица производных

Таблица производных

Таблица производных