Линейная алгебра и аналитическая геометрия

План лекции
Векторное произведение двух векторов.
Смешанное произведение векторов.
Решение задач.

Правая и левая тройка
Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой тройкой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае она называется левой тройкой.
Замечание. При перестановке в упорядоченной тройке двух любых векторов тройка меняет ориентацию на противоположную.

Векторное произведение
Определение. Векторным произведением
неколлинеарных векторов и называется вектор , такой, что:
;
и ;
3. вектор направлен так, что векторы , и в указанном порядке образуют правую тройку.
Замечание. В случае, если векторы и коллинеарны, то их
векторное произведение равно .

Свойства векторного произведения
(антикоммутативность).
2. .
3.
(линейность).
Векторное произведение

Векторное произведение
Теорема. Пусть – правый ортонормированный базис, и в этом базисе и .
Тогда векторное произведение вычисляется по следующей формуле:

Векторное произведение

Векторное произведение

Векторное произведение

Смешанное произведение векторов
Определение. Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению векторного произведения
и вектора .
Свойства смешанного произведения:
(полукоммутативность).
2.
(линейность).

Теорема. Пусть – правый ортонормированный базис, и в этом базисе
, и . Тогда смешанное
произведение вычисляется по следующей формуле:
.
Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение векторов

Решение задач
Пример 1. Являются ли векторы , и компланарными?
Решение.
Следовательно, векторы , и – компланарны.
Пример 2. Даны векторы и . Найти .
Решение.
Т.е. .

Пример 3. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
и .
Решение. Введем третью координату: и .
Тогда:
.
Пример 4. Найти площадь треугольника с вершинами ,
, .
Решение. , . Тогда
Решение задач

Пример 5. Даны векторы и . Выразить векторы
и через вектор .
Решение. По свойствам векторного произведения
Решение задач

Пример 6. Найти объем параллелепипеда и высоту, опущенную из вершины на основание , если ,
, , .
Решение. , , . Тогда
Площадь основания
Тогда высота .
Решение задач

Пример 7. Найти объем тетраэдра и высоту, опущенную из вершины , если , , , .
Решение. , , . Тогда
Площадь основания
Тогда:
Решение задач