Метод координат. Нахождение углов

В задаче C2 рассматриваются многогранники, на основе которых,
как правило, нужно найти одну из следующих величин:
Угол между скрещивающимися прямыми —
это угол между двумя прямыми, которые
пересекаются в одной точке и параллельны данным прямым.
Угол между прямой и плоскостью —
это угол между самой прямой и
ее проекцией на данную плоскость.
Угол между двумя плоскостями —
это угол между прямыми, которые лежат в данных плоскостях
и перпендикулярны линии пересечения этих плоскостей.
Прямые всегда задаются двумя точками на поверхности или
внутри многогранника, а плоскости — тремя.
Сами многогранники всегда задаются длинами своих граней.

Для того, чтобы использовать метод координат,
надо хорошо знать формулы. Их три:
Главная формула — косинус угла φ между
векторами a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2):
Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0,
где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит
через начало координат, D = 0. А
если не проходит, то D = 1.
Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0,
имеет координаты: n = (A; B; C) и
называется вектором нормали к плоскости.

Задача. Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).
Решение.
Поскольку координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу:
Ответ: 36/65

Задача.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0),
если известно, что она не проходит через начало координат.
Решение.
Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но,
поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0)
то положим D = 1.
Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек
должны обращать уравнение в верное числовое равенство.
Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:
A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;
Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:
A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных.
Составим и решим систему уравнений:
Получили, что уравнение плоскости имеет вид:
− 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.
Ответ: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0

Задача.
Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.
Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4)
Ответ: n = (7; − 2; 4)

Вычисление координат векторов
Теорема. Чтобы найти координаты вектора,
надо из координат его конца вычесть координаты начала.
Задача. В пространстве расположены три точки, заданные
своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2).
Найти координаты векторов AB, AC и BC.
Решение. Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A,
а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты,
надо из координат точки B вычесть координаты точки A:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).
Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A,
зато конец — точка C. Поэтому имеем:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).
Наконец, чтобы найти координаты вектора BC,
надо из координат точки C вычесть координаты точки B:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).
Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Введение системы координат
Самое замечательное свойство этого метода
заключается в том,
что не имеет никакого значения,
как именно вводить систему координат.
Если все вычисления будут правильными,
то и ответ будет правильным.
Некоторые рекомендации,
как лучше ввести систему координат
для самых часто встречающихся
в задаче C2 многогранников:

Решение задач методом координат упрощает знание опорной задачи:

Угол между прямыми

Решение (1 способ)

Решение (2 способ)

Решение.

Координаты правильной треугольной призмы

Решение.

Решение.

Координаты правильной шестиугольной призмы

Решение.

Задача 4 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, отмечены точки Е и F – середины сторон SB и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.
Решение.

Координаты правильной четырехугольной пирамиды

Е- середина SB
F- середина SC
Решение.