Линейная алгебра. Матрицы

Содержание

Слайд 2

Система линейных уравнений имеет вид

Таблица, составленная из коэффициентов при неизвестных,
называется матрицей.

Система линейных уравнений имеет вид Таблица, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется
Для данной системы основная матрица:

Любая прямоугольная таблица чисел, состоящая
из m строк и n столбцов, называется матрицей размера (mхn).

Числа, образующие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрица размера (mxn)

Введение. Понятие матрицы

Слайд 3

В этой же системе можно выписать в виде матрицы столбец
свободных членов

Матрица

В этой же системе можно выписать в виде матрицы столбец свободных членов
- столбец размера (3х1)

Можно записать матрицу-строку

, размер матрицы (1х4)

Например, система из трех уравнений с тремя неизвестными
и ее основная матрица

Квадратная матрица размера (3х3) или
матрица 3-го порядка

В квадратных матрицах можно выделить главную и побочную диагонали

главная

побочная

Слайд 4

Для квадратных матриц можно вычислить определитель.

Определитель квадратной матрицы есть некоторое число, которое

Для квадратных матриц можно вычислить определитель. Определитель квадратной матрицы есть некоторое число,
вычисляется из элементов матрицы по определенному правилу, которое будет сформулировано после введения понятий миноров и алгебраических дополнений элементов определителя.

Минором элемента определителя называется определитель,
полученный после вычеркивания из исходного строки и столбца,
на пересечении которых стоит этот элемент.

Алгебраическое дополнение элемента – это минор этого элемента, взятый со знаком (+), если сумма номеров строки и столбца,
на которых находится элемент – четная,
и со знаком (-), если эта сумма – нечетная.

Слайд 5


1. Определитель 1-го порядка равен самому элементу

Например:

2. Определитель 2-го порядка

1. Определитель 1-го порядка равен самому элементу Например: 2. Определитель 2-го порядка
находится по правилу

Определитель 2-го порядка равен разности произведений
элементов главной и побочной диагонали.

Например:

Вычисление определителей

Слайд 6

Определитель 3-го порядка находится путем разложения
определителя по элементам строки или столбца.

Определитель 3-го порядка находится путем разложения определителя по элементам строки или столбца.

При этом используется

Основное правило вычисления определителя:
Определитель равен сумме произведений элементов
какой-либо строки или столбца
на соответствующие им алгебраические дополнения

Например, разложение определителя по элементам 1-ой строки
будет иметь вид

Слайд 7

Пример вычисления определителя путем разложения
по элементам первой строки:

Наиболее выгодным является разложение

Пример вычисления определителя путем разложения по элементам первой строки: Наиболее выгодным является
определителя по элементам
того ряда, в котором все элементы, кроме одного, равны нулю

Например, данный определитель наиболее выгодно
разложить по элементам 2-й строки

Если строк или столбцов с нулями нет, то их можно получить, используя элементарные преобразования, не меняющие величины определителя.

Слайд 8

Согласно свойству определителей: Величина определителя
не изменится, если к элементам какого-либо ряда

Согласно свойству определителей: Величина определителя не изменится, если к элементам какого-либо ряда
прибавить
соответствующие элементы другого ряда, предварительно
умноженные на число.

Слайд 9

Свойства определителей

1. Постоянный множитель из элементов какого либо ряда
можно выносить за знак

Свойства определителей 1. Постоянный множитель из элементов какого либо ряда можно выносить
определителя

2. Определитель равен нулю, если все элементы какого-либо
ряда равны нулю

3. Определитель равен нулю, если есть два ряда,
соответствующие элементы которых равны или пропорциональны

Слайд 10

Решение систем методом Крамера

С вычислением определителей связан один из методов решения
систем

Решение систем методом Крамера С вычислением определителей связан один из методов решения
линейных уравнений – метод Крамера.
Рассмотрим его на примере.

Для решения системы необходимо
вычислить 4 определителя 3-го порядка.

1. Вычисляем главный определитель из коэффициентов
при неизвестных

2. Вычисляем побочные определители для каждого неизвестного,
для этого поочередно в главном определители заменяем столбцы ,
соответствующие одному из неизвестных, столбцом свободных
членов

Слайд 11

Метод Крамера

а) Находим определитель для первого неизвестного, заменяя
в главном определителе первый

Метод Крамера а) Находим определитель для первого неизвестного, заменяя в главном определителе
столбец на столбец свободных членов

б) Находим определитель для второго неизвестного, заменяя в главном определителе второй столбец на столбец свободных членов

в) Находим определитель для третьего неизвестного, заменяя в главном
определителе третий столбец на столбец свободных членов

Слайд 12

Метод Крамера

Для нахождения значений неизвестных используем формулы Крамера

Значения неизвестных
находятся делением побочных

Метод Крамера Для нахождения значений неизвестных используем формулы Крамера Значения неизвестных находятся

определителей
на главный определитель

Это означает, что методом Крамера
можно решать только такие системы,
у которых главный определитель
отличен от нуля

Полученное решение запишем в виде матрицы-столбца

Легко проверить подстановкой в каждое уравнение
Системы, что полученное решение верно.

Слайд 13

Обратная матрица. Матричные уравнения

Обратной матрицей для квадратной матрицы А называется матрица

Обратная матрица. Матричные уравнения Обратной матрицей для квадратной матрицы А называется матрица
произведение которой на исходную матрицу равно единичной матрице

Единичная матрица

Обратная матрица существует только для квадратных
невырожденных матриц, т.е. таких матриц, определитель
которых отличен от нуля

Равенство

Служит для проверки правильности
нахождения обратной матрицы

Слайд 14

Матричные уравнения

Матричные уравнения – это уравнения, в которых участвуют
как известные матрицы,

Матричные уравнения Матричные уравнения – это уравнения, в которых участвуют как известные
так и неизвестная матрица, которую
и нужно найти. Существуют два основных типа матричных уравнений.

1 тип (левое умножение)

2 тип (правое умножение)

В виде матричного уравнения может быть
записана система линейных уравнений, решение которой
существует, если определитель основной
матрицы отличен от нуля.

Если в системе количество уравнений и неизвестных разное,
то нельзя говорить об определителе основной матрицы и решать
систему матричным методом нельзя.
Для решения таких систем применяется метод Гаусса

Слайд 15

Схема нахождения обратной матрицы

1) Находится определитель матрицы.
Если он отличен от

Схема нахождения обратной матрицы 1) Находится определитель матрицы. Если он отличен от
нуля , то обратная матрица существует.
2) Составляется союзная матрица , элементами которой являются алгебраические дополнения элементов исходной матрицы.
3) Полученную союзную матрицу транспонируем, т.е. меняем ролями строки и столбцы матрицы. Получаем матрицу .
4) Матрицу делим на определитель матрицы и получаем обратную матрицу. (При делении матрицы на число все ее элементы нужно разделить на это число)

Рассмотрим примеры.

1. Найти матрицу, обратную данной

1)

2)

3)

4)

Слайд 16

Нахождение обратной матрицы

2. Найти матрицу, обратную данной

1) Находим определитель матрицы

2) Составляем

Нахождение обратной матрицы 2. Найти матрицу, обратную данной 1) Находим определитель матрицы
союзную матрицу

Т.о. обратная матрица существует.

3) Полученную матрицу транспонируем

4) Обратная матрица

Слайд 17

Решение систем методом Гаусса

Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных.
При решении системы

Решение систем методом Гаусса Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных. При
методом Гаусса все действия проводятся над
строками расширенной матрицы.

Понятие ранга матрицы.

Понятие ранга помогает при анализе системы уравнений.

Определение. Рангом матрицы называется максимальное число
линейно независимых строк этой матрицы.

Рассмотрим систему уравнений

и запишем ее основную матрицу и
расширенную матрицу

Слайд 18

Определение 1. Система линейных уравнений называется
совместной, если она имеет решение. Это возможно

Определение 1. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение. Это
только в том
случае, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной.

Определение 2. Система называется несовместной, если она
не имеет решений.

Определение 3. Система называется определенной, если она имеет
единственное решение. Это возможно, если ранг системы равен
количеству неизвестных:

Определение 4. Система называется неопределенной, если она имеет
бесчисленное множество решений. Это возможно в том случае,
когда ранг системы меньше количества неизвестных:

Таким образом, при решении системы необходимо установить
ее совместность, а затем определить единственное или множество
решений она будет иметь.

Слайд 19

Рассмотрим на примере системы

Расширенная матрица – это матрица коэффициентов
при неизвестных с

Рассмотрим на примере системы Расширенная матрица – это матрица коэффициентов при неизвестных
добавлением столбца свободных членов.

Видно, что 3-я и 4-я строки получаются умножением первой на
числа (-2) и 3, значит соответствующие уравнения системы
являются лишними. И система будет иметь множество решений.
Решаем ее методом Гаусса.

Слайд 20

Схема решения системы методом Гаусса.

Выписываем расширенную матрицу системы и приводим ее
к

Схема решения системы методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу системы и приводим ее
ступенчатому или треугольному виду также, как это делалось при
вычислении определителей (процедура получения нулей).
2. В процессе всех этих действий могут проявиться линейно зависимые
строки (т.е. строки, соответствующие элементы которых одинаковые или
пропорциональные, нулевые строки и т.п.), которые можно вычеркнуть

Например:

Т.о. осталось 2
линейно независимых
строки и ранг матрицы
равен 2

3. В полученной матрице нужно выбрать базисный минор.
Базисный минор – это отличный от нуля минор, порядок которого
равен рангу матрицы. Соответственно определяются базисные
и свободные неизвестные.

В нашем примере базисный минор можно составить из элементов
1-го и 3-го столбцов

, тогда так как минор, составленный
из элементов 1-го и 2-го столбцов, равен нулю

Слайд 21

Для данной ситуации базисными будут неизвестные

и

4. Записываем эквивалентную систему, при этом базисные

Для данной ситуации базисными будут неизвестные и 4. Записываем эквивалентную систему, при

неизвестные остаются в левой части уравнений, а свободные
переносятся в правую.

5. В итоге решается эта система и находится общее решение,
в котором базисные неизвестные выражаются через свободные.
Этим свободным неизвестным даются произвольные числовые
значения, по ним вычисляются базисные и получается каждый раз
новое частное решение. Таких решений можно составить
бесчисленное множество.

- общее решение

-частное решение
(при

)

Имя файла: Линейная-алгебра.-Матрицы.pptx
Количество просмотров: 34
Количество скачиваний: 0