Слайд 2МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Л-1
Экстремумы функций
![МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Л-1 Экстремумы функций](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/947040/slide-1.jpg)
Слайд 3Оптимальные Решения
Примеры Классических Задач
Построить прямоугольник максимальной площади с заданным периметром
![Оптимальные Решения Примеры Классических Задач Построить прямоугольник максимальной площади с заданным периметром](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/947040/slide-2.jpg)
(частная задача, см. 4.1)
2. (Задача Эвклида) В треугольник вписать параллелограмм максимальной площади
3. В плоскости треугольника найти точку, сумма расстояний от которой до вершин треугольника минимальна
Слайд 4Оптимальные Решения:
Примеры Классических Задач
4.1 (Изопериметрическая задача)
Какую максимальную площадь можно охватить замкнутой
![Оптимальные Решения: Примеры Классических Задач 4.1 (Изопериметрическая задача) Какую максимальную площадь можно](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/947040/slide-3.jpg)
кривой заданной длины ?
4.2 (Задача Дидоны) Дана веревка длины L. Какую максимальную площадь
(у прибрежной зоны- вдоль прямой) можно охватить данной веревкой ?
Слайд 5Оптимальные Решения:
Примеры Классических Задач
5. (З. о Брахистохроне)
Даны точки А и
![Оптимальные Решения: Примеры Классических Задач 5. (З. о Брахистохроне) Даны точки А](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/947040/slide-4.jpg)
В на разной высоте. По какой кривой, соединяющей эти точки, шар спустится за минимальное время (под действием только силы тяжести)
Слайд 6Оптимальные Решения:
Примеры Классических Задач
6. (З. об Оптимальном проектировании)
Коробка изготавливается из
![Оптимальные Решения: Примеры Классических Задач 6. (З. об Оптимальном проектировании) Коробка изготавливается](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/947040/slide-5.jpg)
листов размера a*b. Для этого из углов вырезают квадраты x*x и сгибают вдоль линий.
Как делать вырезы так, чтоб получить коробку максимального обЪема ?
Слайд 7Задача о перевозках (транспортная задача)
7. Имеется m пунктов производства (поставки) некоторого однородного
![Задача о перевозках (транспортная задача) 7. Имеется m пунктов производства (поставки) некоторого](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/947040/slide-6.jpg)
продукта и n пунктов его потребления. Для каждого пункта производства i=1,…,m, и каждого пункта его потребления j=1,…,n, заданы:
ai – объем производства в пункте i;
bj – объем потребления в пункте j;
сij – затраты на перевозку 1цы продукта от пункта производства i до пункта потребления j.
(потребление не превышает производства).
Задача: Составить план перевозок:
- не выводящий за пределы производства,
- полностью обеспечивающий всех потребителей,
- дающий минимум суммарных затрат на перевозку
Слайд 8Задача о бродячем торговце
(задача коммивояжера)
8. Имеется n+1 город;
сij – матрица
![Задача о бродячем торговце (задача коммивояжера) 8. Имеется n+1 город; сij –](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/947040/slide-7.jpg)
расстояния между городами (i -j)
Выезжая из исходного города, коммивояжер должен побывать во всех остальных городах ровно 1 раз и вернуться в исходный город.
Составить оптимальный маршрут…
(по времени, стоимости, расстоянию)
Слайд 9Задачи Оптимального Управления
9. (простейшая задача о быстродействии ) (движение управляемой тележки)
Масса тележки
![Задачи Оптимального Управления 9. (простейшая задача о быстродействии ) (движение управляемой тележки)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/947040/slide-8.jpg)
m, в точке x0, скорость- v0. Внешняя сила (тяга) – u, текущая координата – x(t), задаются физические ограничения на тягу. Задача: как за минимальное время, с учетом всех ограничений на управление (скорость, ускорение) достичь точки x0 и остановиться (достичь с нулевой скоростью)
Слайд 10Непрерывные Функции
Дана ф-я f(x),
одномерная ф-я:
многомерная ф-я
x=(x1,…,xn ) ф-ия f(x)=f(x1,…,xn )
![Непрерывные Функции Дана ф-я f(x), одномерная ф-я: многомерная ф-я x=(x1,…,xn ) ф-ия](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/947040/slide-9.jpg)
в D
Непрерывная ф-я: если при x→x0 lim f(x)=f(x0),
тогда ф-я непрерывна в т. x0
Ф-я f(x) непрерывна в области D, if она непрерывна в каждой точке
Слайд 11Непрерывные Функции
Дана ф-я f(x),
одномерная ф-я:
многомерная ф-я
x=(x1,…,xn ) ф-ия f(x)=f(x1,…,xn )
![Непрерывные Функции Дана ф-я f(x), одномерная ф-я: многомерная ф-я x=(x1,…,xn ) ф-ия](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/947040/slide-10.jpg)
в D
Непрерывная ф-я: если при x→x0 lim f(x)=f(x0),
тогда ф-я непрерывна в т. x0
Ф-я f(x) непрерывна в области D, if она непрерывна в каждой точке
Слайд 12Непрерывные Функции
D=[a,b] – отрезок, - замкнутое множество (=содержит все свои предельные очки)
![Непрерывные Функции D=[a,b] – отрезок, - замкнутое множество (=содержит все свои предельные](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/947040/slide-11.jpg)
D=(a,b) – интервал.
Свойства:
Th. (Больцано-Коши о промежуточном значении)
Если непрерывная ф-я принимает на отрезке знаечния разных знаков, то найдется точка, в которой ф-я =0.
Th (Вейерштрасса о максим и миним значениях)
Непрерывная на отрезке ф-я ограничена и есть точки, где ф-я принимает максим и миним значения.
Слайд 13Свойства непрерывных функций
Тh. (Вейерштрасса)
Непрерывная ф-я f(x1,…,xn) , заданная на компакте K
![Свойства непрерывных функций Тh. (Вейерштрасса) Непрерывная ф-я f(x1,…,xn) , заданная на компакте](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/947040/slide-12.jpg)
, достигает на этом компакте своего максимума и минимума.
Слайд 14Дифференцируемые ф-ии
Дана ф-я f(x),
Ф-я f(x), определенная в D,
называется дифференцируемой в
![Дифференцируемые ф-ии Дана ф-я f(x), Ф-я f(x), определенная в D, называется дифференцируемой](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/947040/slide-13.jpg)
т. a,
если
При этом:
Слайд 15Дифференцируемые ф-ии
Обозначения:
С(X) – множ-во непрерывных в области X функций,
D(X) – дифференцируемые в
![Дифференцируемые ф-ии Обозначения: С(X) – множ-во непрерывных в области X функций, D(X)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/947040/slide-14.jpg)
X функции,
частое обозначение f∈Ck(X) :
существует k производных, и k-ая производная непрерывна
Слайд 16Частные производные
Дана ф-я f(x), f(x)=f(x1,…,xn ) в
Частные производные:
![Частные производные Дана ф-я f(x), f(x)=f(x1,…,xn ) в Частные производные:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/947040/slide-15.jpg)
Слайд 17Экстремумы
Пусть
Рассмотрим классические методы оптимизации, сводящиеся к нахождению оптимума
ф-ии f(x1,…,xn)
![Экстремумы Пусть Рассмотрим классические методы оптимизации, сводящиеся к нахождению оптимума ф-ии f(x1,…,xn)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/947040/slide-16.jpg)
в D.
Дана ф-я Def. Точка x0 назыв т. глобального максимума
(в D), если для всех выполняется нер-во
Слайд 18локальный экстремум
Пусть Def. Точка x0 назыв т. локального максимума
ф-ии f(x) (в
![локальный экстремум Пусть Def. Точка x0 назыв т. локального максимума ф-ии f(x)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/947040/slide-17.jpg)
области D),
если существует окрестность т. x0 , U(x0 ), такая, что для всех выполняется нер-во
Примеры (лок и глоб экстремумов)
Слайд 19Базовая теорема
Пусть
Th (Ферма). Если x0 - т. локального экстремума дифференцируемой ф-ии
![Базовая теорема Пусть Th (Ферма). Если x0 - т. локального экстремума дифференцируемой](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/947040/slide-18.jpg)
f(x) в откр. Области D, тогда
Пусть St(f)={x: f’(x)=0} – множ-во стационарных точек.
Тогда: точки экстремума содержатся в множ-ве стационарных точек (обратное не верно).
Пусть D=[a, b] – отрезок на прямой.
f задана на прямой, тогда точки глобального экстремума содержатся в множ-ве критических точек
Слайд 20Базовая теорема
Пусть т.е., f = f(x1,…,xn).
Th (обобщение). Если x0 - т. локального
![Базовая теорема Пусть т.е., f = f(x1,…,xn). Th (обобщение). Если x0 -](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/947040/slide-19.jpg)
экстремума дифференцируемой ф-ии f(x1,…,xn), тогда
Здесь:
(опрератор набла)
Слайд 21Глобальный экстремум
Правило. Точки глобального экстремума содержатся в множестве ее критических точек:
где
![Глобальный экстремум Правило. Точки глобального экстремума содержатся в множестве ее критических точек:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/947040/slide-20.jpg)
- граница области D.
Слайд 22Линии уровня
Графический метод нахождения экстремумов на примере n=2.
Линии уровня функции f(x,y):
(min
![Линии уровня Графический метод нахождения экстремумов на примере n=2. Линии уровня функции](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/947040/slide-21.jpg)
f≤ c ≤max f)
Через каждую точку плоскости М(x0,y0) (входящую в область определения фу-ии) проходит только одна линия уровня: f(x,y)= f(x0,y0)
1. Графический метод нахожд. экстремумов ф-ий на основе нахождения линий уровня. (рис с.30,31, ВР).
2. Использование градиента функции: Направление градиента совпадает с направлением наибольшей скорости роста фу-и в каждой точке. Он перпендикулярен линии уровня.
Слайд 23Нахождение Экстремумов
Примеры задач
f → opt (max, min)
1. y=f(x) → extr
![Нахождение Экстремумов Примеры задач f → opt (max, min) 1. y=f(x) →](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/947040/slide-22.jpg)
(sup / max; inf / min )
2. f(x,y) → extr
3. f(x,y)=C → extr (анализ линий уровня)
Слайд 24Условный экстремум
Метод Лагранжа нахождения усл. экстремумов функций в заданной области.
Задача:
![Условный экстремум Метод Лагранжа нахождения усл. экстремумов функций в заданной области. Задача:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/947040/slide-23.jpg)
Пусть , f = f(x1,…,xn).
f→opt (max/min) при условии, что x=(x1,…,xn) удовлетворяют системе ограничений
(предполагается, что фу-ии f и gi являются
ф-ями класса C1 в области определения