Комплексные числа

Содержание

Слайд 2

ЗАДАНИЯ ПО ПРЕЗЕНТАЦИИ:

Выписать в тетрадь:
Определение комплексного числа
Что такое мнимая единица? Чему она

ЗАДАНИЯ ПО ПРЕЗЕНТАЦИИ: Выписать в тетрадь: Определение комплексного числа Что такое мнимая
равна?
Что обозначают действительной и мнимой частью комплексного числа?
Какие бывают действия над комплексными числами?
Примеры разобрать УСТНО.

www.themegallery.com

Слайд 3

Из истории комплексных чисел

Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы

Из истории комплексных чисел Комплексные числа были введены в математику для того,
сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень
из отрицательного числа. В XVI в.

Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа.
Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению.

Слайд 4

Из истории комплексных чисел

Из истории комплексных чисел

Слайд 5

Он же высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных

Он же высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных
чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 г, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Из истории комплексных чисел

Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень.
Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (англ.), (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году.

Слайд 6

Cодержание

Cодержание

Слайд 7

Множества чисел

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Множества чисел N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Слайд 8

Алгебраические операции

Натуральные числа: +, ×

Целые числа: +, –, ×

Рациональные числа: +,

Алгебраические операции Натуральные числа: +, × Целые числа: +, –, × Рациональные
–, ×, ÷

Действительные числа: +, –, ×, ÷, любые длины

Q

Z

N

R

C

Слайд 9

Понятие комплексного числа

Комплексные числа C – это пара (a; b) действительных чисел

Понятие комплексного числа Комплексные числа C – это пара (a; b) действительных
с заданными определенным образом операциями умножения и сложения.
Комплексное число z = (a; b) записывают как z = a + bi.
i2 = −1, i – мнимая единица.
Число Re z называется действительной частью числа z,
а число Im z – мнимой частью числа z.
Их обозначают a и b соответственно: a = Re z, b = Im z.

Определение:
Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными.

Слайд 10

Понятие комплексного числа

Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа:
C1) Существует комплексное число,

Понятие комплексного числа Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа: C1) Существует
квадрат которого равен (−1).
С2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа.
С3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному).

i – начальная буква французского слова imaginaire – «мнимый»

Слайд 11

Действия над комплексными числами

Сравнение
a + bi = c + di означает,

Действия над комплексными числами Сравнение a + bi = c + di
что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части)
Сложение
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Вычитание
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
Умножение
(a + bi) ⋅ (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac − bd) + (bc + ad)i
Деление

Слайд 12

Сопряженные числа

Сопряженные числа

Слайд 13

Примеры

(a + bi) + (c + di) = (a + c)

Примеры (a + bi) + (c + di) = (a + c)
+ (b + d)i
Например:
1. (2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i;
2. (– 2 + 3i) + (1 – 8i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8))i = – 1 – 5i;
3. (– 2 + 3i) + (1 – 3i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3))i = – 1 + 0i = – 1.

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Например:
(5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) + (– 8 – 3)i = 1 – 11i;
(3 – 2i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + ((– 2) – (– 2))i = 2 + 0i = 2.

Слайд 14

Примеры

(a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad

Примеры (a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad
+ bc)i
Например:
1. (– 1 + 3i)(2 + 5i) = – 2 – 5i + 6i + 15i2 = – 2 – 5i + 6i – 15 = – 17 + i; 
2. (2 + 3i)(2 – 3i) = 4 – 6i + 6i – 9i2 = 4 + 9 = 13.

Произведение двух сопряженных чисел – действительное число:
(a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – b2i2 = a2 + b2
Произведение двух чисто мнимых чисел – действительное число:
bi ⋅ di = bdi2 = − bd
Например: 
1. 5i•3i = 15i2 = − 15;
2. − 2i•3i = − 6i2 = 6.  

Слайд 15

Примеры

Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c +

Примеры Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c +
di ≠ 0 определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле:
Формула теряет смысл, если c + di = 0, так как тогда c2 + d2 = 0, т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается.
Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю.
Например: