Многовариантные планиметрические задачи: взаимное расположение фигур

Окружность
Во многих задачах встречается окружность, касающаяся сторон угла. Напомним, что в этом случае:
Центр окружности лежит на биссектрисе угла

Окружность
Отрезки, соединяющие точки касания с центром окружности, являются её радиусами и перпендикулярны к сторонам угла

Окружность
Расстояния от вершины угла до точек касания равны

Окружность
Угол KAM + Угол KOM = 180°

Проверь себя
Окружность с центром D касается сторон угла A в точках F и E. Радиус окружности равен 7. AD = 25. Найдите FE.

Решение
Т. к. DF перпендикулярна AF, то в треугольнике AFD
AF = √(AD2 — FD2) = √(252 — 72) = 24
Тогда AE = AF = 24
В треугольнике AFE отрезок AH — биссектриса и AF = AE, следовательно, AH перпендикулярна FE и FH = HE.
Найдем высоту FH прямоугольного треуголника AFD:

Решение
FH * AD = AF * FD
FH = (7 * 24) / 25 = 6,72
Тогда FE = 2FH = 13,44
Ответ: 13,44

Задание №2
К окружности с центром O проведена секущая AO и касательная AB. Расстояние от A до точки касания равна 40, расстояние от до D равно 20. Найдите радиус окружности, которая касается прямых AB и AO и отрезка OB.

Решение
Обозначим AD = a, AB = l, OB = R, O1K = r. OB перпендикулярна AB треугольник AOB прямоугольный.
AB2 + OB2 = OA2
R2 + l2 = (R2 + a2)
l2 = 2aR + a2
R = (l2 — a2) / 2a = (402 — 202) / 2 * 20 = 30

Случай №1
Найдем радиус r окружности, вписанной в треугольник ABO.
2r + 2AO = PAOB
r = (PAOB — 2AO) / 2 = (120 — 2 * 50) / 2 = 10

Случай №2

Случай №2
Окружность касается треугольника OBA внешним образом (продолжения AB и AD). Центры окружностей в 1 и 2 случаях лежат на биссектрисе угла BAO, O1K перпендикулярна AB, O2H перпендикулярна АВ, следовательно O1K параллельна O2H.