Теоремы сложения и умножения вероятностей

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
Решение:
А- на костях выпадет в сумме 7 очков.
Всего возможных комбинаций при вбрасывании двух игральных костей:
6·6=36
Всего благоприятных исходов 6.
Р(А)=6/36=0,16666….
Округлим до сотых.
Ответ: 0,17

У Дины в копилке лежит 7 рублёвых, 5 двухрублёвых, 6 пятирублёвых и 2 десятирублёвых монеты. Дина наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит менее 60 рублей.

У Дины в копилке лежит 7 рублёвых, 5 двухрублёвых, 6 пятирублёвых и 2 десятирублёвых монеты. Дина наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит менее 60 рублей.
Решение:
A - оставшаяся в копилке сумма менее 60 руб.
Всего рублей в копилке
7+5·2+6·5+2·10=7+10+30+20=67
В копилке останется менее 60 рублей только в том случае, если Дина достанет монету в 10 рублей.
Монет в 10 рублей всего 2. Всего в копилке 7+5+6+2=20 монет.
Следовательно P(A)=2/20=0,1
Ответ: 0,1

За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом

За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом
Решение:
А - две девочки будут сидеть рядом
Посадим одну из девочек на любое место. Тогда у второй будет 4 варианта посадки. И только 2 варианта будут благоприятными - девочка слева или справа от первой. По формуле классической вероятности Р(А)=2/4=0,5
Ответ: 0,5

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.
О- орел(первый)
Р-решка (второй)

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.
О- орел (первый)
Р-решка (второй)
Решение:
А - «Физик» выиграет жребий ровно два раза
Р(А)=3/8=0,125
Ответ: 0,125

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы две решки
1- бросок
2 – бросок
3 - бросок

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы две решки
Решение:
А- выпадет хотя бы 2 решки
Р(А)=4/8=1/2
Ответ: 0,5

Математический диктант
Случайные события. Вероятность случайного события
Вариант 1

Математический диктант
Случайные события. Вероятность случайного события
Вариант 2

Критерии оценивания

Теоремы сложения и умножения
вероятностей

Событие А — кубик оказался красным
Событие B — кубик оказался синим
События А и B не могут произойти одновременно.
Cобытия А и B являются несовместными.

Два события называют
НЕСОВМЕСТНЫМИ,
если в одном и том же испытании они не могут произойти одновременно, то есть
наступление одного из них исключает наступление другого.

Теорема сложения вероятностей:
Вероятность появления одного из двух несовместных событий А или В равна сумме вероятностей этих событий
Р(A+B)=P(A)+P(B)

Пример 1
Есть 10 экзаменационных билетов. Ученик вытянул один из них. Какова вероятность того, что номером билета является простое число, или число больше 7.
Событие А — простое число
Событие B — число больше 7
4 благоприятных исхода
из 10 возможных
3 благоприятных исхода
из 10 возможных
2
3
7
5
8
9
10

Событие А — простое число
Событие B — число больше 7
Событие C — простое число, больше 7
Событие С наступает тогда, когда наступает одно из событий
A или B
несовместные

Пример
Свойство вероятностей
противоположных событий
Событие А
Выпало 6 очков
Событие B
Выпало менее 6 очков
Всякое наступление события А означает, что событие B не наступит. А наступление события B означает, что событие А не наступит.
Cобытия А и B – противоположные события.

Событие А
Выпало 6 очков
Событие B
Выпало менее 6 очков
1 благоприятный исход из 6 возможных
5 благоприятных исходов
из 6 возможных
Сумма вероятностей
противоположных событий равна 1

Пример
Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух кубиках, меньше 9?
Общее число равновозможных исходов равно 36.
4 благоприятных исхода
(3; 6), (6; 3), (4; 5), (5; 4)

Два события называют
СОВМЕСТНЫМИ,
если в одном и том же испытании они могут произойти одновременно, то есть
наступление одного из них не исключает наступление другого.

Теорема сложения вероятностей двух совместных событий:
Если события A и B совместны, то вероятность появления одного из них равна сумме их вероятностей минус вероятность их одновременного появления.
Р(А+В)=P(A)+P(B)-P(AB)

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или в обоих сразу).

Вероятность первого события А – «кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события В «кофе закончится во втором автомате» по условию равна 0,3. События являются совместными.
Вероятность совместной реализации первых двух событий Р(АВ) по условию равна 0,12.
Значит, вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть. Р(А+В)=0,3+0,3-0,12=0,48
Ответ: 0,48
Решение

Рассмотрим, как можно вычислить вероятность события, состоящего в совместном появлении двух независимых событий.
Два события называются
НЕЗАВИСИМЫМИ,
если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого события.

Вероятность совместного появления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий
Р(А·B)=P(A)·P(B)
Теорема умножения вероятностей двух независимых событий

?
?
18
24
Пусть в одной из двух коробок находится 18 шаров, из которых 3 красные, а в другой 24 шара, из которых 4 красные. Из каждой коробки наугад вынимают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся красными?

Событие А
из первой коробки
вынимают красный шар
Событие B
из второй коробки вынимают красный шар
Для события А благоприятными являются 3 исхода из 18
для события B благоприятными являются 4 исхода из 24.
события A и B являются независимыми
18
24
Р(А·В)=Р(А)·P(B)=1/6·1/6=1/36 Ответ: 1/36

Два события называются
ЗАВИСИМЫМИ,
если одно из них влияет на вероятность появления другого.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого события, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло
Р(А·B)=P(A)·PА(B)
Теорема умножения вероятностей двух зависимых событий

В ящике 6 белых и 8 чёрных шаров. Из ящика вынули два шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые.

P (AB)= P (A)· PА(B)= (6/ 14) ·(5 / 13)= 30/182.
Ответ: 0,16
А – «первый вынутый шар белый»
B - «второй вынутый шар белый»
события A и B являются зависимыми

Домашнее задание
Задачник Башмакова М.И.
упр. 11.16, 11.17, 11.18, 11.21,