множества

Цель урока:
Формировать знания учащихся о множествах и его элементах,
о пустом множестве, о способах задания множеств, об операциях над множествами:
объединение, пересечение, разность

Понятия теории множеств
Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918).Следуя Кантору, понятие "множество" можно определить так:
Множество- совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.

Например:
Множество цифр:
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
Множество букв русского алфавита
Например:
1). Цифра 6 – элемент множества цифр.
2). Буква Л – элемент множества букв
русского алфавита
Предметы, из которых состоит множество, называются его ЭЛЕМЕНТАМИ

Для обозначения множеств используют большие
буквы латинского алфавита или фигурные скобки,
внутри которых записывают элементы
множества(при этом порядок элементов не имеет
значения).
Например:
1). А— множество цифр: А={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}.
2). W— множество букв русского алфавита:
W={А;Б;В;Г;Д;Е;Ж;З;И;Й;К;Л;М;Н;О;П;Р;С;Т;У;Ф;Х;Ц;Ч;Ш;Щ; Ь;Ы;Ъ;Э;Ю;Я }

Для обозначения элементов множества используют малые буквы латинского алфавита
Например:
1). f = 6 – элемент множества цифр
2). а = Р – элемент множества букв русского алфавита
Принадлежность предмета данному множеству обозначается
Например:
1). f = 6 ; 6 є А, где А— множество цифр.
2). К є W, где W— множество букв русского алфавита
Непринадлежность – символом

Множество может быть:
1). Конечное :
Например: А— множество цифр
2). Бесконечное:
Например: N – множество натуральных чисел
3). Пустое:
ø- множество, в котором нет ни одного элемента
Например: X – множество решений уравнения

На диаграмме Эйлера-Венна утверждение "множество А является подмножеством множество В" изображают так
Если множество В состоит из некоторых элементов множества А
(и только из них),
то множество В называется ПОДМНОЖЕСТВОМ
множества А
Например:
1). В= {5;9;0 }, А= { 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 }, то
(читается В содержится в А)
2). С= { Л;Е;Т;О },
W= {А;Б;В;Г;Д;Е;Ж;З;И;Й;К;Л;М;Н;О;П;Р;С;Т;У;Ф;Х;Ц;Ч;Ш;Щ;Ь;Ы;Ъ;Э;Ю;Я },
(читается С содержится в W)
Подмножеством данного множества А является и само множество А
Пустое множество, по определению, считают подмножеством всякого множества

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВ
Перечислением элементов множества;
Описанием общего (характеристического) свойства, объединяющего элементы.
Например:
1). К = {х : -5 ≤ х ≤ 6 }-описанием характеристического свойства элементов
2). Т = {х : 0 ≤ х ≤ 9, х є N } –описанием характеристического свойства элементов
3). Множество учеников данного класса определяется их списком в классном журнале - перечислением элементов
4). Множество цифр: А = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} - перечислением элементов

Множества называются РАВНЫМИ, если они состоят из одних и тех же элементов
Например:
1). Равными являются все пустые множества
Равенство множеств А и В записывают в виде А=В
Отношение "=" называется отношением равенства
2). Множество корней уравнения х²=49; L= {-7; 7 },
Множество корней уравнения | х |=7; M= {-7; 7 },
=> L=М

Решение задач
1.Задайте перечислением элементов множества:
а) А—множество гласных букв русского алфавита.
Решение
А = {а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я }
б) В—множество корней уравнения х³-4х=0.
Решение
х (х²-4)=0
х=0 или х= ±2
В={-2; 0; 2 }
Решение
С = { 2 }
в) С—множество простых четных чисел.

2. Перечислить элементы следующих множеств:
а) А= {х : хє ученикам вашего класса, которые сейчас отсутствуют }.
Решение
А = {Будникова; Стадницкая }
б) В= { х : (х-2)(х+3)=0 }
Решение
В = { -3; 2 }
в) С= { х : х²- 8х +15 = 0 }
Решение
По теореме Виета находим корни квадратного уравнения
С= { 3; 5}

3. Какие из следующих множеств являются пустыми?
неверно
множество решений уравнений х²-4=0
множество решений уравнений х=х+2
множество решений уравнений х+1 = х+1
множество кругов, у которых диаметр меньше радиуса
Верно!
Подумай!
Правильно!

5. Даны множества:
а) множество А всех трапеций.
б) множество В всех прямоугольников.
в) множество С всех четырехугольников.
г) множество D всех квадратов.
д) множество H всех параллелограммов.
е ) множество F всех многоугольников.
Запишите с помощью знака эти множества в таком порядке,
чтобы каждое предыдущее множество являлось подмножеством последующего.
Решение
A
F
C
H
B
D

Суммой, или объединением произвольного конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А,В.
Объединение множеств обозначается
На диаграмме Эйлера-Венна объединение двух множеств выглядит так
П р и м е р : {1,2,3} {2,3,4} = {1,2,3,4}.
Операции над множествами

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ А и В
Например:
L= { 5;7;9;3;1},
W= { 1;0;8;2;4;5;6 } =>
LUW={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}
С =А U B К U M
Решение задач:
1.Дано: А={1;3;5;7}, В={1;5;7;9}, С={2;4}.
Найти: а) А U В; б) А U С; в) В U С; г) А U В U С.
2.Дано: А= { х : х²-5х+6=0 }, В= {х : х²-3х+2 }.
Найти: А U В.

Пересечением любого конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.
Пересечение множеств обозначается
На диаграмме Эйлера-Венна пересечение двух множеств выглядит так
П р и м е р : {1,2,3} {2,3,4} = {2,3}

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ А и В
С= А ∩ В К ∩ М = ø
Например:
L= { 5;7;9;3;1},
W= { 1;0;8;2;4;5;6 }
=> К = L ∩ W= { 1;5 }
Решение задач:
1. Дано: А= {а;с;к;1;3 }, В= {с;е;6;3 }, С= {с;1;6 }.
Найти: а)А∩В; б)А∩С; в) В∩С; г) А∩В∩С.
Дано: А={ х : х²-5х+6=0}, В={ х : х²-3х+2=0}.
Найти А∩В.

Разностью между множеством В и множеством А называется множество всех элементов из В , не являющихся элементами из А .
Разность двух множеств обозначается
На диаграмме Эйлера-Венна разность двух множеств выглядит так

РАЗНОСТЬ МНОЖЕСТВ А и В
Решение задач:
1. Дано: M = { a;b;c;d } , N = { b;d } .
Найти: а) M \ N; б) N \ M; в) (M \ N) U (N \ M)
2. Найти разность множеств К = {1;2;3;7;8;9;) } и М = {2;0;8 }.

Дополнением множества А называется множество, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству А
(но принадлежащих универсальному множеству U)
Дополнение множества А обозначается (можно читать: «А с чертой»)
A
U
.
.
A

Задача. Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский — 27 учащихся, а два языка — 18 учащихся. Сколько учащихся в классе?
Решение:
Пусть А- множество учащихся изучающих английский язык, Ф - множество учащихся изучающих французский язык, О - множество учащихся изучающих английский и французский язык.
25-18=7(уч.) – изучают только английский;
27-18=9(уч.)– изучают только французский;
3)18+(7+9)=34(уч.)
Ответ: в классе 34 ученика.

Подведение итогов урока:
Приведите примеры множеств.
Какие бывают множества по количеству элементов? Как обозначаются множества?
Как обозначается принадлежность или непринадлежность элемента
данному множеству?
Какими способами задаются множества (привести примеры) ?
Какие множества называются равными (привести примеры) ?
Какое множество называется подмножеством данного множества
( привести примеры и записать их символически) ?
Что называется пересечением двух множеств ( привести примеры и записать символически ) ?
Что называется объединением двух множеств ( привести примеры и записать символически ) ?
Что называется разностью двух множеств ( привести примеры и записать символически ) ?