Модуль действительного числа. Решение уравнений с модулем

Понятие модуля
Абсолютной величиной (модулем) действительного числа а называется само число а, если оно неотрицательное, и число, противоположное а, если а –отрицательное.
Пример:

Свойства модуля

Свойства модуля

а
-а
0
Геометрическая интерпретация модуля
х
|-а|
|а|
Это расстояние от начала отсчета до
точки, изображающей число.

Примеры
Раскрыть модули:
1)
2)
5)
4)
3)
6)
7)
8)
9)

Пример: |x – 8| = 5
Ответ: 3; 13.
⇔
Решение уравнений вида
|f(x)|= a

|2x – 3|= 4
|5x + 6|= 7
|9 – 3x |= 6
|4x + 2|= – 1
|8 – 2x|= 0
|10x + 3|= 16
|24 – 3x|= 12
|2x + 30|= 48
x1 = 3,5; x2 = – 0,5
x1 = 0,2; x2 = – 2,6
x1 = 1; x2 = 5
x ∈ Ø
x = 4
x1 = 1,3; x2 = – 1,9
x1 = 12; x2 = 4
x1 = 9; x2 = – 39
Решение уравнений вида
|f(x)|= a

Решение уравнений вида |f(x)|= g(x)
или

Ответ: 3; 4.
⇔
⇔
⇔
Пример: |3х –10| = х – 2

Ответ: 2,5.
Решение уравнений вида
|f(x)|= |g(x)|
Пример: |x – 2| = |3 – x |
⇔
⇔

2
x < –4
–4 ≤ x ≤ 2
x > 2
Решить уравнение
2|x – 2| – 3|х + 4| = 1
-4
х
x – 2
x + 4
–
–
+
–
+
+

Ответ: –15; –1,8.
Решить уравнение
2|x – 2| – 3|х + 4| = 1
⇔

Примеры
(решить самостоятельно)
1) |x2 + 3x| = 2(x + 1)
2) |x – 6| = |x2 – 5x + 9|
3) |2x + 8| – |x – 5| = 12
1) Ответ: 1; (–5 + √17)/2.
2) Ответ: 1; 3.
3) Ответ: [2; +∞)