Piramida

Fie ABCD un poligon în planul α, M un punct în afara planului.
Dacă prin punctul M se consideră o dreaptă d ce se deplasează pe laturile poligonului, aceasta descrie o suprafaţă de piramidă.
α
A
B
C
D
M
Corpul geometric delimitat de punctul M şi planul α se numeşte piramida MABCD.

Elementele piramidei
A
Bază
Muchii ale bazei
Feţe laterale
Muchii laterale
Vârf
V
Înălţime: distanţa vârfului piramidei de la planul bazei

Dacă piciorul perpendicularei duse din vârful piramidei pe planul bazei este în domeniul interior al acestuia atunci piramida este o piramidă dreaptă.

În caz contrar piramidă oblică.
O

Piramida regulată
O piramidă se numeşte regulată, dacă:
Are ca bază un poligon regulat (∆ echilateral, pătrat, hexagon regulat, etc)
Piciorul perpendicularei duse din vârful piramidei coincide cu centrul poligonului
(centrul poligonului = centrul cercului circumscris).
Toate muchiile unei piramide regulate sunt congruente, deci toate feţele sunt triunghiuri isoscele congruente.
Înălţimea unei feţe laterale se numeşte apotema piramidei.
Triunghiuri de lucru

Realizarea desenelor
Piramidă triunghiulară regulată
Piramidă patrulateră regulată
Piramidă hexagonală regulată

Piramidă triunghiulară regulată

O
B
N
C
V
A

Piramidă patrulateră regulată

A
V
B
M
O
D
C

Piramidă hexagonală regulată

M
O
V
F
E
D
C
B
A

Elementele piramidelor regulate
Piramidă patrulateră regulată
Piramidă triunghiulară regulată
ABCD pătrat
VO înălţime ({O}=AC ∩ BD )
VBC, VCD, VDA, VAB feţe laterale (Triunghiuri isoscele congruente)
ABC triunghi echilateral
VO înălţime; O –centru de greutate
VBC, VCA, VAB feţe laterale (Triunghiuri isoscele congruente)

Triunghiuri de lucru în piramida triunghiulară regulată

Triunghiuri de lucru în piramida patrulateră regulată

Triunghiuri de lucru în piramida hexagonală regulată

Formule
Al= arie laterală=suma ariilor feţelor laterale
At= arie totală = Al + aria bazei
At = Al + Abază

Formule de calcul pentru piramide regulate
pentru orice tip de piramidă

Piramidă triunghiulară regulată cu muchia bazei “a”
Piramidă patrulateră regulată cu muchia bazei “a”
Piramidă hexagonală regulată cu muchia bazei “a”

Aplicaţii

1. Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată. Dacă se cunoaşte muchia bazei AB=4 cm, înălţimea VO=12 cm, să se calculeze aria şi volumul.
R1
2. Dacă muchia laterală a unei piramide patrulatere regulate este de 10 cm, iar muchia bazei de 12 cm, să se calculeze volumul şi aria lateralã.
R2

1. Fie SABC o piramidă triunghiulară regulată cu muchia bazei AB=6 cm şi înălţimea SO=2 cm. Să se calculeze aria şi volumul piramidei!
R
2. Fie VABC o piramidă triunghiulară regulată. Dacă se cunoaşte muchia VB=10 cm, înălţimea VO=8 cm să se calculeze aria şi volumul piramidei!
R