многогранники

Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.

Многогранники
выпуклые
невыпуклые
Тела
Архимеда
Тела
Платона
Тела
Кеплера-
Пуансо

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Невыпуклый многогранник – многогранник, расположенный по разные стороны от плоскости одной из его граней.

Правильными многогранниками
называют выпуклые многогранники, все грани и все углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники.

Правильные многогранники
Сколько же их существует?

Тетраэдр
Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника - равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла дадут в развертке 180°.
Если теперь склеить развертку в многогранный угол, получится
тетраэдр - многогранник, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани.

Октаэдр-
Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра.
Октаэдр-восьмигранник, тело, ограниченное восемью правильными треугольниками.

Икосаэдр
Добавление пятого треугольника даст угол 300° - мы получаем развертку вершины икосаэдра.
Икосаэдр-двадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью равносторонними треугольниками

Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360° - эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.

Куб или правильный гексаэдр
Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из трех квадратных граней имеет угол 3x90°=270° - получается вершина куба, который также называют гексаэдром. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360° - этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый многогранник.
Куб или правильный гексаэдр - правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами.

Додекаэдр-
Три пятиугольные грани дают угол развертки 3*108°=324 - вершина додекаэдра. Если добавить еще один пятиугольник, получим больше 360° - поэтому останавливаемся.
Додекаэдр-двенадцатигранник, тело, ограниченное двенадцатью правильными многоугольниками.

Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3*120°=360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.

Сделаем вывод:
Мы убедились, что существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями.
Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:
«эдра» - грань
«тетра» - 4
«гекса» - 6
«окта» - 8
«икоса» - 20
«додека» - 12

Тетраэдр
Икосаэдр
Гексаэдр
Додекаэдр
Октаэдр

Подсчитайте количество вершин, граней и ребер у правильных многогранников.

Теорема Эйлера. Пусть В --- число вершин выпуклого многогранника, Р --- число его
рёбер и Г --- число граней. Тогда верно равенство В+Г=2+Р

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.
Историческая справка
Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком
пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики- это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов.

Эти тела еще называют телами Платона
Платон связал с этими телами формы атомов основных стихий природы.

огонь
тетраэдр
вода
икосаэдр
воздух
октаэдр
земля
гексаэдр
вселенная
додекаэдр
стихии

Все использовали в своих философских теориях
правильные многогранники.
Дальнейшее развитие математики связано с именами
Платона, Евклида, Архимеда, Кеплера

Тела Архимеда
Архимедовыми телами называются полуправильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов.

Тела
Архимеда

Тела
Кеплера - Пуансо
Среди невыпуклых однородных многогранниковСреди невыпуклых однородных многогранников существуют аналоги платоновых тел - четыре правильных невыпуклых однородных многогранника или тела Кеплера - Пуансо.
Как следует из их названия, тела Кеплера-Пуансо - это невыпуклые однородные многогранники, все грани которых - одинаковые правильные многоугольники, и все многогранные углы которых равны. Грани при этом могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми.

Большой звездчатый
додекаэдр
Большой икосаэдр
Малый звездчатый
додекаэдр

Многогранники в архитектуре
Великая пирамида в Гизе. Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности. Великая пирамида была построена как гробница Хуфу, известного грекам как Хеопс. Он был одним из фараонов, или царей древнего Египта, а его гробница была завершена в 2580 году до н.э. Позднее в Гизе было построено еще две пирамиды, для сына и внука Хуфу, а также меньшие по размерам пирамиды для их цариц.

Многогранники в архитектуре Москвы
Собор непорочного зачатия
Девы Марии
на малой Грузинской
Исторический музей

Малый Ржевский пер.
Новоарбатский замок
Многогранники в архитектуре Москвы

Казанская церковь в Москве
Многогранники в архитектуре Москвы

Чудо природы – кристаллы
куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl
монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеет форму октаэдра,
кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра,
сернокислый натрий - тетраэдр,
бор - икосаэдр.
Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников:

Многогранники в природе
Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов.
Кристалл сульфата меди II
Кристалл алюмокалиевых
квасцов
Кристалл сульфата никеля II

Пчёлы
строили свои шестиугольные соты
задолго до появления человека.

Икосаэдр
оказался в центре
внимания биологов в их мнениях относительно формы вирусов.
Вирус полиомиелита
имеет форму додекаэдра.

Многогранники в химии

Строение молекулы метана .

Правильные многогранники встречаются в живой природе.
Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр.

Леонардо да Винчи любил изготовлять из дерева каркасы правильных многогранников и преподносить их в виде подарка различным знаменитостям.

Правильная форма алмаза.

Тестирование.
А теперь проверьте свои знания по изученному материалу

1. Поверхность, составленная из четырех треугольников
А) ТЕТРАЭДР
С) КВАДРАТ
B) ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
D) ШАР

2. Поверхность, составленная из многоугольников и ограничива- ющая некоторое геометрическое тело
А) МНОГОУГОЛЬНИК
С) ТРЕУГОЛЬНИК
B) МНОГОГРАННИК
D) КВАДРАТ

3. Многоугольник, из которого составлен многогранник
А) СТОРОНА
С) ГРАНЬ
B) РЕБРО
D) ВЕРШИНА

4. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани
А) ДИАГОНАЛЬ
С) ВЫСОТА
B) МЕДИАНА
D) АПОФЕМА

5. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины
А) ДИАГОНАЛЬ
С) КАТЕТ
B) АПОФЕМА
D) ГИПОТЕНУЗА

6. Этот правильный многогранник составлен из 8-ми равносторонних треугольников
А) КВАДРАТ
С) ДОДЕКАЭДР
B) ТЕТРАЭДР
D) ОКТАЭДР

7. Составлен из 6-ти правильных четырехугольников
А) КВАДРАТ
С) КУБ
B) ТЕТРАЭДР
D) ПИРАМИДА

8. Стихия тетраэдра
А) ВОДА
С) ЗЕМЛЯ
B) ВОЗДУХ
D) ОГОНЬ

9. Многоугольник, подобный пчелиным сотам
А) 8-МИ УГОЛЬНИК
С) 4-Х УГОЛЬНИК
B) 6-ТИ УГОЛЬНИК
D) ТРЕУГОЛЬНИК

Проверь себя.
1. A
2. B
3. C
4. A
5. B
6. D
7. C
8. D
9. B