На оптимизацию с решением

Содержание

Слайд 2

Задачи на оптимизацию – это уже настоящие исследовательские задачи, очень близкие по

Задачи на оптимизацию – это уже настоящие исследовательские задачи, очень близкие по
смыслу (но не по методам решения) к задачам с параметром. Сложность таких задач в том, что не всегда есть готовые методы решения и задача может потребовать своего подхода. Успех в решении таких задач заключается в систематическом тренинге.
Решение любой текстовой задачи складывается из нескольких основных этапов:
подробный разбор условия задачи для четкого понимания сути описанного в задаче процесса;
выбор переменных, количество которых должно быть достаточным для того, чтобы составить уравнения и неравенства. Если переменных оказалось больше, чем число уравнений, но при этом все было сделано верно, то «лишние» переменные взаимно уничтожатся или сократятся. Иногда в процессе решения требуется найти не сами переменные по отдельности, а их комбинацию;
формализация или составление уравнений и неравенств. При этом важно обращать внимание на единицы измерения – они должны быть одинаковыми для всех одноименных величин;

Слайд 3

4.решение полученного уравнения, неравенства или системы;
5. интерпретация полученного результата и непосредственно

4.решение полученного уравнения, неравенства или системы; 5. интерпретация полученного результата и непосредственно
сам ответ на
вопрос задачи.

Слайд 4

Задача 1.

В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте

Задача 1. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте
имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 260 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Слайд 5

Решение. Для формализации условия подобных задач введем следующие обозначения и выражения.
r –

Решение. Для формализации условия подобных задач введем следующие обозначения и выражения. r
продолжительность рабочего дня;
n – количество рабочих, занятых по добыче конкретного металла;
р – масса металла, добываемого одним рабочим в час (производительность);
r ∙n – человеко-часы;
r ∙n∙ p – масса металла, добываемого на шахте в день.
На основе данных задачи составим таблицу:

Слайд 8

Так как для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором

Так как для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором
на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля, то масса алюминия в сплаве в 2 раза больше массы никеля, то есть:
10 x+15 y=2∙( 3500−15 x−10 y) ,
40 x+35 y=7000.
x=175−7/8у или у=200-8/7х

Слайд 9

Учтем ограничения на переменные:
Х=175-7/8у≥0
Х=175-7/8у≤60
0≤у≤260 у =200
У=200-8/7х≥0
У=200-8/7х≤260
0≤х≤60

Учтем ограничения на переменные: Х=175-7/8у≥0 Х=175-7/8у≤60 0≤у≤260 у =200 У=200-8/7х≥0 У=200-8/7х≤260 0≤х≤60

Слайд 10

Составим функцию f ( x , y), которая задает значения массы сплава.

Составим функцию f ( x , y), которая задает значения массы сплава.
Для этого заметим, что масса сплава (на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля) в 3 раза больше массы никеля, следовательно:
f ( x , y)=3∙( 3500−15 x −10 y) .
Подставим вместо х:
f ( y) =3∙ ( 875+25/8у)
Подставляем y max=200:
f ( 200)=45000кг .

Слайд 11

Задача 2

В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов

Задача 2 В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых
трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется x 2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется y 2 человеко-часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Слайд 12

Задача 3

Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры типов А и В.

Задача 3 Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры типов А и В.
Количество загруженных на баржу контейнеров типа В не менее чем на 25% превосходит количество загруженных контейнеров типа А. Вес и стоимость одного контейнера типа А составляет 2 тонны и 5 млн руб., контейнера типа В – 5 тонн и 7 млн руб. соответственно. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн руб.) всех контейнеров, перевозимых баржей при данных условиях.

Слайд 13

Так как количество загруженных на баржу контейнеров типа В
должно не менее

Так как количество загруженных на баржу контейнеров типа В должно не менее
чем на 25% превосходить количество загруженных контейнеров типа А, значит, на каждые 4 контейнера типа А должно приходиться не менее 5 контейнеров типа В. То есть можно объединить в группу контейнеры разных типов таким образом:
Пусть таких групп будет k. Тогда массу всех контейнеров типа А и массу всех контейнеров типа В можно описать выражениями:
4 k ∙2=8k и 5k ∙5=25k .
Тогда масса всех контейнеров: 8k+25k=33k.
Ограничение по грузоподъемности баржи описывает неравенство:
33k ≤ 134, откуда k ≤ 4 2/33
Так как k ∈N, то k=4, а значит:

А

А

А

А

В

Слайд 14

Суммарная стоимость всех контейнеров, перевозимых баржей при данных условиях:
16∙5+20∙7=220 млн руб.
Целесообразно проверить

Суммарная стоимость всех контейнеров, перевозимых баржей при данных условиях: 16∙5+20∙7=220 млн руб.
на возможность получить более выгодный в финансовом плане вариант. Так как в найденном варианте масса всех контейнеров будет равна 33k=132, то до предельной грузоподъемности можно заменить два контейнера типа А одним контейнером типа В. Тогда суммарная стоимость будет равна:
14∙5+21∙7=217 млн руб.,
что на 3 млн руб. меньше ранее найденного варианта.

Слайд 15

Задача 4

Часть денег от капитала 400 млн руб. размещена в банке под

Задача 4 Часть денег от капитала 400 млн руб. размещена в банке
12 % годовых, а другая часть инвестирована в производство, причем через год эффективность вложения ожидается в размере 250 % (то есть вложенная сумма х руб. оборачивается в размере 2,5х руб.), затем отчисляются деньги на издержки, которые задаются квадратичной зависимостью 0,0022x 2 . Прибыль от производства облагается налогом в 20 %. Как распределить капитал между банком и производством, чтобы через год получить максимальную прибыль от размещения денег в банк и вложения денег в производство? Сколько рублей составит эта прибыль?

Слайд 16

Пусть х млн рублей инвестировано в производство, тогда 400− x млн
рублей

Пусть х млн рублей инвестировано в производство, тогда 400− x млн рублей
— размещено в банк.
Через год эффективность вложения в производства ожидается в размере 2,5 х
млн рублей.
Затем отчисляются деньги на издержки: 2,5 x−0,0022x²
Прибыль от производства облагается налогом в 20 %:
0,8(2,5 х− 0,0022x²− x)=2 x− 0,00176 x²
Через год сумма, размещенная в банк, будет равна:
1,12( 400− x)=448− 1,12x
Прибыль от размещения денег в банк и вложения денег в производство:
f ( x)=2 x− 0,00176 x²+448−1,12x −400 или
f ( x)=−0,00176 x²+0,88x+48.
Наибольшее значение функция принимает в точке x˳ =0,88/2*0,00176=250
Тогда максимальная прибыль от размещения денег в банк и вложения денег в
производство равна: f ( 250)=−0,00176⋅250²+0,88 ⋅250+48=158.